我曾經在之前的一篇文章中答應會更深入地探討有關濾波器設計和網路理論的問題,因為當時趕著寫另一篇有趣的報導而匆匆略過了這些細節。所以,現在是第一次「深入思考」:為什麼要將電源電阻和負載電阻設置為相同的值?

本文使用稱為雙端接電感電容(LC)梯形濾波器的拓撲結構,以深入探討這一問題。由電感器和電容器構成的網路有兩個「埠」——即訊號得以出入網路之處。在我們的濾波器中,訊號通過一個具有特定電阻值的電源饋入輸入埠(該電阻可能位於他人的設備中,所以電阻值通常無法更改),而輸出埠則連接到另一個電阻,也可以說由另一個電阻「載入」。

圖1是一個濾波器的示例,該濾波器端接至一個與電源電阻值相等的電阻。圖2顯示了良好且平坦的通帶響應,圖3則顯示如果不使用端接電阻將得到相當糟糕的反應曲線。

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圖1:雙端接低通濾波器網路示例。

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圖2:圖1電路連接負載電阻時的電壓增益。

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圖3:未連接負載電阻的圖1電路之電壓增益。

我們可以看到此處所使用的一組特定值,只有在端接了負載電阻時才能實現低紋波的平坦響應。這並不是因為接取了兩個電阻的結果;圖4顯示了一組網路元件值,其給出的振幅響應(如圖5)與圖2相同,即並未端接負載電阻,注意其電壓增益為0dB而非6dB。在大多數的實際應用中,你肯定會採用這樣的濾波器,對吧?同樣的響應、更高的增益,還可能節省一個元件,何樂而不為?

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圖4:無需連接負載電阻時的一組元件值。

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圖5:未使用負載電阻仍可能擁有理想且平坦的響應曲線。

圖6圖7解釋了為什麼我們要拒絕這種「單端接」方法的誘惑。每一張圖都顯示了100個重疊在一起的響應曲線,元件值可以在±5%的範圍內變化。我們清楚地看到,當所用元件值發生一些微小變化時,雙端接濾波器的容差性確實更好。如果我們使用一些設計技巧,以這些網路作為主動濾波器「原型」,而完全不需要這些電感器,則仍然可以保留濾波器的這種特性。

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圖6:圖1中元件值的蒙特卡羅分析(雙端接)。

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圖7:圖4中元件值的蒙特卡羅分析(單端接)。

雙端接濾波器到底有什麼特別之處?要回答這個問題,我們需要瞭解當訊號在LC網路中從電源電阻傳輸到負載電阻的過程中發生了什麼。

在此我們來講一點題外話,即如何培養思維過程。假如你在應徵一個類比設計的職位時被問到了以下的問題:

「假設你有一個正弦波訊號產生器,其輸出阻抗為50Ω,開路時產生1Vrms的電壓。客戶提供了一個輸入阻抗為3.3kΩ的黑盒子,為了使其正常運作,它需要輸入訊號在50kHz時至少提供3Vrms的電壓。現在,在沒有電源的情況下要使系統正常運作,但實驗室中唯一能用的電子元件是被動雙線元件。說說看你將如何解決這個問題,以及系統如何運作。」

這意味著沒有電池,也沒有電晶體或IC,更沒有變壓器。在答案揭曉之前 ,請先想一想(特別是在你馬上就要面試的情況下)。圖2應該能提供一些思路。好了嗎?圖8提供了一個成功的解決方案:

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圖8:針對上述刁鑽面談試題給出的解決方案。

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圖9:圖8解決方案的頻率響應。

僅採用被動雙線元件,即可建構一個高Q低通濾波器。圖9顯示了當訊號產生器開路級設置為1Vrms時,黑盒子的輸入電壓隨頻率的變化。顯然我們已經達到讓系統在指定頻率下正常運作所需的電壓增益。這下子可以領到免費午餐了嗎?

當然,天下沒有免費的午餐。我們應該問一問:「從該解決方案中可能得到的最大電壓增益是多少?」為了找到答案,首先必須瞭解的是,雖然從一組被動元件中獲得電壓增益很常見,但要得到功率增益則不太可能(因為能量守恆)。這是弄清這些被動濾波器網路中究竟發生什麼的關鍵:即關於能量如何進入和離開網路。如果電源具有特定的輸出電阻,能提供特定的輸出電壓,那麼相連的負載最多能夠消耗多少功率都有嚴格的限定。你在大學時應該學過「最大功率傳輸定理」(Maximum Power Theorem),但可能沒太在意。該定理在被動濾波器設計中非常重要,必須記住。

你可能還記得,最大功率傳輸條件是負載電阻等於電源電阻,用一些塵封已久的大學微積分知識就可以證明。利用負載電阻功率消耗的運算公式,計算該功率相對於負載電阻RL的導數,設定該導數為零,並求解RL。

你的第一個想法可能是使用變壓器,這是在負載電阻不等於電源電阻時最常用的方法。變壓器將功率從電源電阻傳遞到負載電阻而無任何損耗(理想情況),不過它一般用於電壓、電流級不同的情況。使用正確的匝數比,無論負載電阻值如何,負載電阻都可以獲得理想的功耗。

這正是圖8中的簡單LC濾波器網路所實現的:我們製做了一個變壓器。所有輸入LC網路的功率又被輸出,採用正確的元件值,無論負載電阻為何值,在所要求的頻率下功率都可以全部傳遞到負載。

當使用變壓器或等效LC電路時,我們可以計算出50Ω電源電阻和3.3kΩ負載電阻之間可能產生的最大電壓增益。所需的電壓變換等於阻抗之比的平方根,此例中為8.12倍。此時的電壓增益是在相同端接情況下獲得電壓增益的一倍。因此,採用任何LC值可以獲得的最大總增益應該為4.06x或大約12.2dB。圖10顯示了在自製LC變壓器中隨機選擇1,000個不同L值和C值的結果,回應曲線的峰值絕對不會超過預測值。在每個頻率下增益值各不相同的原因是,負載並不至於耗散所有的功率,其中一些功率會被「反射」回電源電阻。

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圖10:所有曲線的峰值都不會超過最大增益值。

RF工程師這會兒估計都不耐煩地打哈欠了,因為這一切對他們來說太容易了。在設計LC網路時,應該確保所有寶貴的電源功率都傳輸到負載,這是稱為阻抗匹配的核心RF技術。這確實很像在兩個阻值不等的電阻器之間設計濾波器(每個電阻器可能還有其虛部需要考慮),通常採用電感和電容實現就可以了,用不著體積龐大且價格昂貴的變壓器。微波頻段的變壓器既不笨重也不昂貴,所以是個例外,但當導體過於靠近時又會產生較大干擾。

現在回到我們最初討論的問題。為什麼(正確設計的)雙端接濾波器具有如此優越的「靈敏度」?這是因為對於濾波器通帶內的一個或幾個頻率,它工作在最大功率傳輸點上。再看一看圖6和圖7,在雙端接濾波器的例子中,如果元件值發生任何變化,功率傳輸(相應地電壓增益)會下降而不是上升。在一些稱之為反射零點的關鍵頻率上,濾波器響應的「靈敏度」是網路中每個無功分量的的抛物線(開口向下)函數,與功率傳輸不受約束的情況相比,網路響應不容易出錯。在單端接情況下,或者在所設計的濾波器響應實際上未達到最大功率增益值的情況下,網路響應會出現錯誤。為了得到最大功率增益值,必須摒棄濾波器,並以具有正確轉換率的理想變壓器取而代之。

此外,我們在文章一開始時比較了兩種濾波器:一種是負載電阻等於電源電阻,另一種不帶負載電阻。那麼,對於任何給定的電源電阻和負載電阻比值,無論電阻比有多大,我們能否製作出具有低靈敏度特性和相同頻率響應的理想濾波器呢?好吧,有時候是可以的。但是對於這種特定的低通濾波器,卻不可行。針對這種特定的響應,我們想要的是平坦的響應,其DC增益等於那些最大的「觸點」值。這意味著在靈敏度最低的濾波器中,電源電阻和負載電阻必須相等。更普遍的情況是,如果不必用衰減的辦法讓頻率全數通過或不通過,那麼通常可以在任意兩個阻抗之間實現具有最低靈敏度的(即最佳匹配)濾波器設計。關於如何實現這樣的濾波器,應該可以寫好幾本書吧,心臟不夠強的人就不必看了。

希望你現在已經感受到最大功率傳輸定理的神奇之處了,它為我們提供了一些要求高但可行的濾波器設計方法。未來我們還將進一步討論這個主題。

(參考原文:Why Maximum Power means Minimum Sensitivity,by Kendall Castor-Perry)

本文同步刊登於電子技術設計雜誌2019年8月號