在時域和頻域中估算訊號頻寬的方法有很多種,例如之前討論過的訊號上升時間(tr )和頻寬(f3db )之間的通用公式。

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訊號完整性大師Eric Bogatin還提供了經驗法則2,即根據時脈頻率來估算訊號頻寬。Bogatin強調,用上升時間來計算訊號頻寬是完全正確的,但使用經驗法則2可以快速得到合理的答案。

BW = 5 × fCLOCK

Bogatin曾在他的文章中提出了一個關鍵性假設,即上升時間佔整個週期的7%。這是一個合理的假設,可以讓我們得出正確的上升時間。當然實際上有些訊號會快些,有些會慢些。

傅立葉級數(Fourier series)

估算訊號頻寬的另一種方法是透過頻域分析,具體地說就是使用傅立葉級數來估算。方波的傅立葉級數如圖1所示。

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20190614TA31P1 圖1 方波時域圖,可採用任意時間和幅度標度,這裡分別選擇為10和1。

該級數具有無數個奇次諧波,它們組合起來代表方波。等式中有一項是1/n,因此每個更高次諧波的振幅都小於前一個諧波。由於理想方波具有零上升時間,所以訊號頻寬將是無限,換句話說,無限個諧波才能完美地表達方波。另外,時間標度是任意的,波形週期是十個時間單位。

表1列出了從基波(n=1)到11次諧波的各個正弦波項的係數(零到峰值)。

20190614TA31P1-3 表1 包含11次諧波的方波的傅立葉級數係數。

來看看需要包含多少次諧波才能讓波形看起來是一個像樣的方波。圖2僅顯示了基頻,即單純的正弦波。

20190614TA31P2 圖2 與圖1中方波相關的基頻正弦波的峰值幅度為1.273。

圖3增加了三次諧波,波形開始像方波了。

20190614TA31P3 圖3 基波和三次諧波疊加的曲線開始像方波了。

圖4增加了五次諧波,現在看到的波形更接近方波。

20190614TA31P4 圖4 基波、三次和五次諧波圖更加接近方波。

每增加一次諧波,產生的波形看起來就更像方波。限於文章篇幅,這裡就不展示表1列出的所有諧波了,但圖5顯示了增加到11次諧波的波形。高次諧波使波形更加趨向方波,並只在波形的平坦部分存在高頻波動。

20190614TA31P5 圖5 疊加到11次諧波的波形圖變得非常接近方波。

添加特定數量的諧波相當於在頻域中應用「磚牆式」低通濾波器。波形中只包含所需的諧波,消除了高次諧波。這麼說有點理想化,因為在真實世界中仍然會遇到一些頻率回應,在逐漸衰減的過程中仍然殘留一些高次諧波。

上升時間

五次諧波的波形看起來已經很像樣了,來仔細看看這種情況。圖6中將五次諧波波形的水準軸擴展了,這樣就可以利用圖形技術確定上升時間。

20190614TA31P6 圖6 擴展的時間標度顯示了五次諧波波形的上升時間。

讓我們找到波形上10%和90%的點並估算上升時間。總訊號擺幅為2個單位,因此10%和90%的點分別對應-0.8和+0.8。上升時間為2×0.37=0.74單位。回想一下,波形的週期是10,因而上升時間是0.74/10,約等於整個週期的7%。現在,體會到它的有趣之處了嗎?這非常接近經驗法則2中假設的7%上升時間。當然,選擇疊加五次諧波是根據波形形狀隨意做出的決定,但這的確是個不錯的選擇!有可能需要更多或者更少諧波,這都要視具體的應用而定。

總而言之,使用傅立葉級數分析來確定方波中的諧波幅度,然後估算由基波加上三次和五次諧波組成的方波的上升時間,結果與根據經驗法則2估算出的數位訊號的頻寬(時脈頻率的五倍)結果非常一致。

(參考原文: Find a signal's bandwidth from its harmonics,by Bob Witte)