測量負反饋電路環路增益T的兩種常用方法是Middlebrook的雙注入法和Rosenstark的開路/短路法。兩種方法都適用於電腦模擬和在工作台上進行人工測試。本文將指出這兩種方法的相似性、差異性和獨特性,以避免將它們混淆。

圖1是一個負反饋電路的簡化示意圖:假定增益元件為一個電壓控制的電流源;此外,其連接端左側的所有被動元件合併成等效阻抗Z1,右側的合併成Z2。由於沒有外部訊號輸入,電路處於待用狀態。現在求它的環路增益T,筆者超級喜歡回歸比分析法,所以引用圖2a的電路圖,透過觀察和歐姆定律可列出Ir = GmV= Gm (-Z1||Z2 )It,讓環路增益T=-Ir /It,得到:

T = Gm ( Z1 || Z2 ) (1)

20190510TA31P1 圖1 負反饋電路。

20190510TA31P2 圖2 利用(a)回歸比分析(b)斷開環路並在返回側終接合適的阻抗,得到圖1電路的環路增益T。

回歸比分析要求我們可以讀取相關的源建模增益。目前而言,理論上是這樣處理ac模型,但在面對電晶體級的實際電路時,無論是在電腦模擬還是在工作台人工測試的過程中,都無法訪問其相關源,因為它藏在提供增益的電晶體內部。另一種方法是斷開回饋通路,正向注入一個測試訊號,並在返回側測量其響應,為了使這種方法成功,返回側的終端阻抗必須要 與環路斷開前訊號所遇到的相同。這個例子中該阻抗為Z1,如圖2b所示。現在Vr =-(Z1 ||Z2 )GmV=-(Z1 || Z2 )GmVt,使環路增益T=-Vr /Vt結果不出所料,再次得到公式(1)。

Rosenstark環路增益測量

終端阻抗Z1的值並不總是一眼就能看出。Rosenstark方法的妙處就是在返回側實施一對環路測量,首先是終端開路時測量,然後是終端短路時測量,將這兩個測量值適當地結合起來得到所需的回路增益T,而不管Z1的值是多少。此方法如圖3所示,經檢視,可得到:

Voc = -GmVZ2 = -GmZ2Vt

Isc = -GmV = -GmZ1It

讓:

20190510TA31P3-1

可得出:

Toc = Gm Z2

Tsc = Gm Z1 (3)

將Gm =T/(Z1 ||Z2 )代入公式(1),稍微整理後,可得到:

20190510TA31P3-2

公式兩邊分別相乘,得出:

20190510TA31P3-3

從而匯出T的重要關係式:

20190510TA31P3-4

20190510TA31P3 圖3 透過Rosenstark方法求圖1電路的環路增益T:(a)返回側終端開路時求Toc (b)返回側終端短路時求Tsc

有趣的是,Toc和Tsc以並聯電阻的形式結合,因此其中一個應該比另一個小得多,小的那個將佔主導地位。

筆者是電流回饋放大器(CFA)的粉絲,因此將使用PSpice對之前討論過的CFA實施Rosenstark測量。圖4顯示了測量Toc和Tsc所需的一對ac模型,圖5顯示了測量結果。環路增益T在80.18MHz頻點處穿過0dB線,相位裕度90.18°,相移-89.82°,結果與之前討論的一致。

20190510TA31P4 圖4 將Rosenstark測量法應用於CFA的ac模型。

20190510TA31P5 圖5 圖4中CFA的Toc、Tsc、和T的曲線。

可發現T非常接近Tsc,這表示輸入端的回饋主要是電流形式的(這個放大器類型的名稱由此得來)。為了定量瞭解,從公式(3)推導出以下重要關係:

20190510TA31P5-1

在電路中,Z1 = rn =25Ω,Z2 =RG||(RF +ro )=138.89||(1250+50)=125.5Ω,所以由公式(5)預知Toc/Tsc=125.5/5=5.02,或14dB。可以利用Toc和Tsc的低頻漸近值(分別為1,929和384.3)來進行檢驗,兩者的比值為5.02,表示兩條跡線之間有14dB的移位。由公式(5)可知,如果反饋回路上有一個點|Z1|<<|Z2|,那麼在該點上我們就有|Tsc |<< |Toc |,因此可能只需透過短路測量,Tsc就可為T提供一個合理的近似值。

經過雙重推理而知,在|Z2 | << |Z1 |的那一點斷開環路,也可以僅利用開路測量法為T求得一個適當的估計值。在CFA示例中,ro和RF的連接點非常適合開路測量。這裡Z2 =ro =50Ω且Z1 =RF +(RG ||rn )=1250+(138.89||25)=1271。由於1271/50=25.4,或28dB,跡線會顯示28dB的移位,並且Toc近似T產生的誤差大約是1/25,即4%。

請勿干擾!(直流偏置條件)

如上所述的開路/短路技術在ac型的電路上效果很好。那麼如果電路由具體的電晶體組成,比如圖6a中的回饋偏置BJT,又會怎樣呢?

20190510TA31P6 圖6 (a)回饋偏置電路(b)使用合適的大串聯電感和並聯電容,在X點應用Rosenstark測量法。

如果在圖中所示三個點中的任意一個點斷開環路,那麼引入一個開路或短路將會破壞直流偏置條件,使電路失效。為了在不干擾直流條件的情況下建立一個交流開路,使用一個串聯電感,它起了直流短路的作用,並且選擇夠大的尺寸讓它在所需頻率範圍內提供足夠高的阻抗。透過雙重推理,為了在不干擾直流條件的情況下建立一個交流短路,還可用一個並聯電容,該元件有直流開路作用,它的尺寸足夠大到可以在所需頻率範圍內提供足夠低的阻抗。圖6b顯示了一對結合了上述思想的PSpice模擬電路,圖7顯示了結果。環路增益T在6.02MHz頻率點穿過0dB線,此處顯示對於85.4°的相位裕量,相移為-94.6°。

20190510TA31P7 圖7 圖6電路的Toc、Tsc和T的曲線。

Middlebrook環路增益測量

Middlebrook測量法透過將小訊號交流源直接嵌入電路,使直流工作點不受干擾,因而無需再使用大電感和大電容。如圖8所示,串聯測試電壓源Vt使電路正向響應電壓為Vf,反向響應電壓為Vr。使用雙重推理,並聯測試電流源It使電路正向響應電流為If,反向響應電流為Ir。將節點法應用於圖8a的電路,環路法應用於圖8b電路,得到:

20190510TA31P8-1

將Gm =T/(Z1 ||Z2 )帶入公式(1),得到:

20190510TA31P8-2

重新整理為:

20190510TA31P8-3

公式的兩邊分別相乘,得到:

20190510TA31P8-4

很容易得出T為:

20190510TA31P8-5

同時也可以很容易地驗證另一個運算式成立:

20190510TA31P8-6

另外,將公式(7)改寫成:

20190510TA31P8-7

然後公式的兩邊分別相除,得出以下的重要關係式:

20190510TA31P8-8

20190510TA31P8 圖8 透過Middlebrook的雙注入技術求圖1電路的環路增益T:(a)電壓注入求Tv,(b)電流注入求Ti

公式(9)表示,1+Tv和1+Ti兩項以並聯電阻形式結合,所以其中一項應該比另一項小很多,而小的那項會佔主導地位。從物理上講,如果Z1 << Z2,那麼測試電流It的大部分會流入Z1,從而使Ti變小,而測試電壓Vt的大部分會向Z2延伸,從而使Tv變大。因此,在這種情況下,T會接近Ti。反之,如果Z2 << Z1,Vt的大部分會向Z1延伸,因此使Tv變小,而It的大部分會流向Z2,因此使Ti變大,說明此時T會和Tv很接近。

現在用PSpice重新測量CFA的環路增益T,這次用Middlebrook測量法。圖9顯示了測量Tv和Ti所需的一對ac模型,圖10顯示了測量結果。

20190510TA31P9 圖9 將Middlebrook測量法用於圖4中的CFA電路。

20190510TA31P10 圖10 圖9中CFA的Tv、Ti和T以及1+Tv、1+Ti和1+T的曲線。

環路增益T在80.18MHz頻點處穿過0dB線,此處顯示對於90.18°相位裕量,相移為-89.82°。所有這些與先前用Rosenstark的方法測量的結果一致。

請注意,在公式(6)~(10)中,Vt和It都沒有明確出現。它們只是用來驅動電路做出回應的激勵,前向回應訊號是Vf和If,反向回應訊號是Vr和Ir,所以它們的大小(甚至它們的極性)都無關緊要。

也可注意到Rosenstark測試法的公式(4)和(5)與Middlebrook測試法的公式(9)和(10)之間的相似性,除了後面的公式中有「+1」項。比較圖5和圖10a可以看出,低頻時差異可以忽略不計,因為各個項與單位值相比較大。然而,當接近交越頻率時,差異變明顯了。同樣具有啟發性的是圖10b中的曲線,能看出它們遵從公式(10)。

圖11描述使用Middlebrook法來測量圖6a中回饋偏置電路的環路增益。請注意這裡沒有用大的電感和電容。

20190510TA31P11 圖11 採用Middlebrook測試法重新測量圖6a所示電路的環路增益T。

綜合考慮

透過對圖12中電流放大器(也稱為I-I轉換器)進行詳細分析並總結。電路採用一個具有開環增益的電壓放大器:

20190510TA31P12-1

其中av0是直流增益(av0 =60V/V),ω0是-3dB角頻率(ω0 =62832=2π104rad/s,對應10kHz)。借助圖13a的PSpice電路繪出閉環電流增益,PSpice電路使用拉普拉斯塊(Laplace block)模擬放大器,還有一個0V直流源,用來模擬短路負載並檢測輸出電流。圖13b顯示了一個1.9728A/A的直流和0.75A/A的高頻漸近線。

20190510TA31P12 圖12 負載短路的電流放大器。

20190510TA31P13 圖13 (a)用於圖12中電流放大器的PSpice電路 (b)閉環電流增益。

我們把閉環電流增益用一個數學運算式來表示。0.75A/A的高頻漸近線表示放大器周圍存在訊號饋通,因此預想閉環增益運算式如下:

20190510TA31P13-1

其中Aideal是T→∞時A的值,饋通增益aft是T→0時A的值。

可以很容易地用Rosenstark或Middlebrook方法測出T。環路中便於執行兩種測試的點是放大器的反相輸入端,其阻抗呈現無窮大,公式(5)或(10)表示只需一次測量就足夠了,即Rosenstark方法中的Toc,或Middlebrook方法中的Tv。這兩種電路如圖14所示(請注意,Rosenstark電路使用了一個0A的假電流源,以避免R2浮動,這種狀態是PSpice不喜歡的)。兩種測量方法給出了相同的T曲線,如圖15a所示(為方便起見,也繪製了av曲線)。交越頻率大約是445kHz,相位裕量約為90°。

20190510TA31P14 圖14 繪製T的PSpice電路:(a)使用Rosenstark測量法(b)使用Middlebrook測量法。

20190510TA31P15 圖15 (a)環路增益T 和開環增益av、(b)顯示了Middlebrook測量中使用的電壓。

參考Rosenstark電路,可注意到,當測試電壓Vt透過環路傳播,首先被放大-av倍,然後由分壓器ro-R1衰減,最後產生Voc (請注意,R2兩端沒有電壓降,因為R2的電流為零),因此可獲得:

20190510TA31P15-1

請看圖14,其實只需簡單地將測試源Vt的接地端斷開然後連接到R2,Rosenstark電路就可以變成Middlebrook電路。

對Vt作出回應,Middlebrook電路產生電壓Vf和Vr,而它們的比率-Vr /Vf就是環路增益T,根據基爾霍夫電壓定律(KVL),Vf-Vr =Vt。有趣的是,在圖15b中,可觀察到電路是怎樣透過負反饋不斷調整Vf和Vr,以滿足上述兩個條件。

接下來,利用T→∞和T→0來求Aideal和aft,讓av →∞和av →0,由公式(12)可得到T→∞和T→0。根據圖12,可發現av →∞意味著反相輸入節點的一個虛擬地,所以R1和R2降低相同的電壓,R1I1 =R2I2,其中I1和I2是它們的電流。因為I2 =Ii,我們有I1 =(R2 /R1 )Ii,所以根據KCL,到達負載的總電流是Io =I1 +I2 =(1+R2 /R1 )Ii。取Io /Ii的比值,可得到:

20190510TA31P15-2

使圖12中av→0,於是Ii在ro和R1之間分開,所以得出分流公式:

20190510TA31P15-3

透過執行圖13a的PSpice電路可以輕易地驗證上述增益,首先讓av =1Meg(近似無窮大),然後讓av =0。

將公式(13)~(15)代入到公式(12),經過一些代數運算,得到:

20190510TA31P15-4

請注意,饋通增益對1.9728直流增益貢獻了0.75/90=0.833%。透過PSpice繪製A(s)得到與圖13b完全相同的曲線,這確認了1.9728A/A和0.75A/A的低頻和高頻漸近線,還說明極點頻率為0.46MHz,零頻率為1.21MHz。值得指出的是,利用雙埠分析研究了圖12的電路,卻一直無法得到公式(16)。

小測試:在圖12電路中,負載LD看到的阻抗是多少?用Spice來驗證。

比較兩種測量方法得到的結果

通常兩種方法求得的T結果是相同的,這可以從圖4和圖9的CFA電路,以及圖14的電流放大器電路得到證實。然而,有些情況下結果可能會有所不同,圖6和圖11的回饋偏置電路就如此:前者交越頻率為6.02MHz、相移為-94.6°,而後者交越頻率為6.22MHz、相移為-94.0°。這種差異源於Middlebrook方法固有的不準確性。

公式(7)顯示,在高於交越頻率時,當T→0,且Tv →Z2 /Z1和Ti →Z1 /Z2,也就是Tv和Ti幾乎跟T無關,而只受阻抗Z1和Z2影響。因此,若用公式(8)根據Tv和Ti來計算T,很可能得到不準確的結果。特別是真正的環路增益在高於交越頻率時可能顯示的高次根如果不被忽略的話,很可能是錯誤的。為了克服這些限制,Middlebrook開發了一種改進的方法。

儘管如此,Middlebrook的單注入法在電源穩定性評估中得到了廣泛的應用,測試時在低阻抗輸出節點處開路,透過插入一個簡單的串聯變壓器來測量Tv,而不需要龐大的電感。

(參考原文: Middlebrook’s and Rosenstark’s loop gain measurements,by Sergio Franco)