數位儀器採樣類比波形並對樣本進行處理,以確保資料可以恢復為連續的類比形式,採樣定理(sampling theorem)表明,訊號數位化的均勻採樣頻率若大於最高頻率分量的兩倍,訊號就可以無誤差地恢復或重建。但是,你知道還可以改變數位化資料的取樣速率嗎?

抽樣和插值

處理數位化資料的兩種最有用工具,是抽樣(decimation)和插值(interpolation)的數學函數,這些可能是某些示波器上的可選數學函數。抽樣也稱為稀疏(sparsing)採樣或降採樣(down sampling),用於降低資料被數位化的有效取樣速率。插值或升採樣(up sampling)可以有效地提升取樣速率。

圖1提供了兩種處理方式範例。將10MHz波形以100MSample /秒進行數位化,可得到10個樣本/週期(中間排左邊的網格)。在原始波形的右側是波形的水準擴展或縮放,將數位化採樣顯示為波形軌跡上的點。左上角的波形顯示了2:1抽樣的效果,相關的縮放曲線(右上角)清晰地顯示了現在每個週期只有5個點的波形。左下角的曲線顯示了2:1插值的效果,右下角是縮放曲線。

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圖1:抽樣和插值一個數位化波形的詳細時域效應。中排的跡線是原始波形,最上排跡線顯示2:1抽樣的效果,最下排跡線顯示了2:1插值的效果。

使用任一種方法時都必須小心,以確保滿足奈奎斯特採樣標準(Nyquist criteria of sampling),即採樣頻率大於波形內最高頻率的兩倍。在抽樣的情況下,最終取樣速率必須大於訊號最高頻率分量的兩倍。同樣,在應用插值之前,原始數位化訊號必須滿足這一標準。

抽樣和插值的應用

大多數位示波器(DSO)都有插值的應用範例。它們對採集的樣本應用Sin(x)/x插值處理,以「平滑」(smooth)波形,如圖2所示。

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圖2:Sin(x)/x插值增加了所採集波形的採樣數,並在視覺上平滑了採集的訊號。

圖2上方曲線是採用線性插值顯示的採集波形,看上去基本上是波形的“連接點”視圖。亮點表示真實樣本的位置。對波形應用Sin(x)/x插值處理,結果波形顯示在下部跡線中。該示波器執行10:1插值處理,因此下部跡線中的採樣數量是10倍。結果是波形看起來更平滑。請記住,只有在滿足奈奎斯特抽樣標準時才會出現這種情況。稍後會詳細介紹。

抽樣最明顯的用途是減小數位化波形的大小。抽樣透過減少波形中的採樣數來節省儲存空間並加速訊號處理。另一個用途是執行多速率濾波(multi-rate filtering)。數位濾波器的頻帶邊緣頻率範圍是訊號有效取樣速率的函數,要將數位濾波器的截止頻率降低到更有用的值,就必須降低有效取樣速率。

在示波器中有兩種方法可以實現這一點:首先是減少採集記憶體的長度,第二種方法是使用稀疏或抽樣函數來抽樣資料。降低取樣速率會增加資料混疊(aliasing)的可能性,尤其是在擷取富含諧波的訊號時。為了限制混疊的可能性,能以高速率對資料進行採樣來防止混疊,然後在抽樣之前使用數位濾波器進行低通濾波。在對資料執行另一濾波操作之前的這種濾波和抽樣的組合被稱為「多級、多速率」(multi-stage, multi-rate)數位濾波,它能夠以最小的混疊風險降低有效取樣速率;參考圖3的範例。

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圖3:用於實現多級、多速率數位濾波器的數學運算系列,可消除63 kHz訊號中的60 Hz分量。

這種類型的訊號在開關電源測量中很常見,要測量的波形包含一個63kHz脈寬調變訊號,位於60Hz正弦波之上。要去除60Hz分量需要高通濾波器,而且其通帶邊緣要高於60Hz。這種類型的濾波器可以使用有限脈衝響應(finite-impulse-response,FIR)數位濾波器來實現。在取樣速率為10MSample/s的訊號上使用此濾波器,會需要具有大量抽頭(taps)的濾波器,導致運算緩慢。為了將所需的濾波器抽頭數量減少到更有用的值,可以使用類比濾波、抽樣和數位濾波的組合來降低有效取樣速率。

圖3最上方的曲線是以10MSamples/s採樣的採集波形,目標是以10:1的比例降低取樣速率;你可以首先對採集的資料進行低通濾波來實現,其頻寬小於所需有效取樣速率1MSample/s的二分之一。從上面往下數的第二個數學曲線F2,是經過頻寬為500 kHz之低通濾波後的訊號。第三個數學曲線F3,應用了10:1抽樣函數,所得到的抽樣將有效取樣速率降低到1MSample/s。

數學曲線F4 (圖3最底部的綠色線條)是高通濾波器的設置,截止頻率為200Hz,過渡區寬度為50Hz。請注意,濾波過程已經顯著降低了60 Hz分量,不再可見了。抽樣擴大了用於移除60Hz分量的數位濾波器的範圍。

量測插值

插值用於增加數位化波形中的採樣數,在數位示波器中被使用在多個方面,最明顯的是用以平滑所顯示的波形。所有DSO都能夠執行sin(x)/x或線性插值處理,以便在波形中插入額外的點,使其看起來更加連續,如前面曾經展示過的。

在量測期間內部也可以使用插值,以更精確地定位測量閾值交叉,使之比採樣週期間隔更好;它通常作為獨立的可選數學函數提供,可讓使用者對所採集的波形執行特殊處理。

透過在特定等級找到波形的交叉點,可執行示波器的時序量測(timing measurement)。在許多情況下,訊號的上升時間非常快,對於20GHz的取樣速率,邊緣上只有少量採樣。簡單地在閾值周圍的採樣之間畫一條線,是找到交叉點的最直接選項。然而當採樣在閾值的兩側不對稱地間隔分佈時,這會導致較大的誤差。

為避免上述問題,DSO使用三次插值來填充所採集的樣本,並且透過閾值兩側的兩個插值抽樣之間的線性插值來找到交叉時間,如圖4所示。三次插值可提高運算效率,提供準確的採樣插入,而且運算速度比sin(x)/x插值更高。

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圖4:內部DSO測量使用三次插值與線性插值相結合的方式來提高測量的時序解析度。

時間是以波形振幅超過預定閾值的點來量測。圖4範例的採樣間隔為50ps,20GSamples/s。對波形應用三次插值,然後對最接近交叉處的點進行線性插值,以找到閾值交叉的確切時間。所得測量值的時間解析度比以採樣週期為間隔的原始採樣高得多。

什麼可能出錯?

稀疏最常見的問題是抽樣波形採樣,直到不再滿足奈奎斯特標準。所得到的波形將明顯失真,並且在視覺上易於識別。但是如果透過電腦詮釋波形,結果可能是災難性的。插值引起的錯誤更加微妙;考量將插值應用於方波的情形,如圖5所示。

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圖5:當使用抽樣時由欠採樣(under sampling)引起的Sin(x)/x插值錯誤的示例。

方波的頻率為10MHz。在圖5底部跡線中,它以500MSa/s或50倍過採樣的方式採樣,每個週期有50個採樣;左側跡線使用線性插值,右側的使用sin(x)/x插值。使用兩種不同插值的波形幾乎沒有差別。中間跡線的採樣為200MSamples/s,或20個採樣/週期。請注意,線性插值波形的邊緣只有一個採樣,兩種波形看起來略有不同。

最上方的跡線對以100 MSa/s採樣,每週期10個採樣,而邊緣沒有採樣。邊緣的轉換時間等於或低於採樣週期。此時,Sin(x)/x 插值顯示不存在的過衝(overshoot)和前激(pre-shoot);這種現象被稱為「Gibbs ears」。

出現Gibbs現象是因為方波的頻譜具有許多奇次諧波(odd harmonics)。大多數工程師估計頻寬包括高達五次諧波,在這種情況下為50 MHz。波形處於混疊的最邊緣,這會損害Sin(x)/x插值。在切換到Sin(x)/x之前,最好使用線性插值來查看數位波形,以避免對不存在的過衝造成不必要的恐慌。

結語

插值和抽樣是很有用的示波器數學函數。顯示和量測插值通常包含在DSO中,而獨立數學函數也可能是可選的功能。增加或減少有效取樣速率的能力,有可能是其他更高級功能(如濾波)中最有用的中間步驟。其他功能還包括根據波形移動採樣位置的能力。

(參考原文:Control the sample rate of digitized signals,by Arthur Pini)