「頻寬」這個術語在許多情況下已被濫用。我記得在一次會議上,這個詞被用來指:特定訊號的頻率內容、特定電路的頻率響應、區域網路的速度,甚至組織的人數。「我們現在沒有足夠的頻寬來處理這些工作。」也許沒人注意到這些,但我發現它很意思。

訊號頻寬

工程師會問「這個訊號需要多少頻寬?」通常,這一問題涉及確保訊號可以透過一個元件或系統傳輸,並在訊號品質沒有降低的情況下傳輸到另一端。

圖1顯示了訊號通過頻寬有限的系統的情況。如圖所示,系統有足夠的頻寬來傳遞訊號且保持不變,這通常是期望的結果。當然,如果訊號的頻率成分超過系統的頻寬,則輸出訊號品質可能顯著降低。

20190419TA01P1 圖1 儘管系統頻寬有限(低通濾波器),但其頻寬足夠傳輸訊號而不失真。

如果談論的是基本的正弦波形,「頻寬是多少?」這一問題的答案可能顯而易見:1GHz正弦波需要至少1GHz的系統頻寬才能有效傳輸。如果使用-3dB來描述系統頻寬,響應將在該頻率下衰減。例如,如果使用1GHz示波器查看1GHz正弦波,所顯示的波形幅度可能是實際值的70%(-3dB),具體取決於示波器頻寬的餘量。

數位訊號甚至更具挑戰性,因為它們包含與波形的快速上升邊緣相關的高頻成分。Eric Bogatin在《Rule of Thumb #1:Bandwidth of a signal from its rise time》一文中解釋了訊號的上升時間與其頻寬之間的關係。簡單地說,就是以下的公式:

20190419TA01P1-1

其中tr是上升時間(10%,90%),f3dB是3dB頻寬。

這個公式對於具有單極低通響應的系統(想想「低通RC電路」)來說是精確的,對於許多性能良好的系統來說也相當接近。我最近發現了一篇Tektronix的老文章,討論了垂直放大器響應和上升時間,文章指出了這兩個階躍響應圖,一個是理想化的「高斯響應(gaussian response)」,另一個是典型的低通RC電路(圖2)。

20190419TA01P2 圖2 高斯階躍響應和低通RC電路階躍響應。

我發現相關的評論很有意思,因為它們描述了上升時間和過衝(overshoot)之間的設計權衡(因數K對應於上式中的0.35):

真正的高斯響應解析為tr × bw =0.32。由於幾個因素的影響,示波器放大器不能滿足真正的高斯響應要求,因此,「高斯」電路基本上是接近高斯的。透過多年研究得出的經驗乘積定義了這些「高斯」電路,對於更高的高斯響應,tr × bw=0.35~0.45,較高的乘積表示上升時間縮短,但是,過衝伴隨著上升時間的減少。0.45的乘積導致5%的過衝,當tr × bw =0.35時,階躍響應中的過衝很少(如果有的話)。Tektronix通常在K=0.35時設置乘積,犧牲上升時間以實現最小過衝。

K是品質因數,有時也稱為上升時間頻寬積(RTBP)。近年來,隨著示波器製造商將可用頻寬的上限推向新高,有時可以實現儀器響應的更快衰減,而RTBP也發生了相應的變化。例如,Keysight UXR 110GHz示波器使用0.44的因數來指定10%/90%的上升時間。

回到正弦波

看完這一數字示例後,我一直在思考簡單的正弦波。上升時間最適用於階躍函數或方波,但它也可以應用於正弦波(雖然我承認它有點牽強),考慮一個幅度為1且峰峰值幅度為2的正弦波(圖3)。

v(t)=sin(2πft)

20190419TA01P3 圖3 在此示例中,正弦波的上升時間是峰峰值幅度的10~90%之間的時間。

計算波形從負峰值的90%變為正峰值的90%所需的「上升時間」。如圖3所示,該上升時間為t2~t1。由於波形的對稱性,可以看到:

tr =2t2

tr =2(1/2πf)sin-1(0.9)

tr =0.356/f

這看起來不是那麼有趣。相同的值0.35顯示出正弦波頻率和上升時間之間的關係。仔細觀察會發現它略有不同:0.356對比單極情況為0.350,0.35這一數字似乎有些特別,但還沒達到通用常數(例如光速)的水準。

(參考原文: What’s that signal’s bandwidth?,by Bob Witte)