本文討論電氣工程的基本原理,並試圖梳理出一些新的見解。對許多人來說,這會是早已知道(或曾經知道)的概念所作的一個更新,但筆者會嘗試在論述中添加一些新東西。

雅可比定律(Jacobi's Law)

大多數工程師都熟悉最大功率傳輸定理(也稱為雅可比定律)。圖1顯示了一個電阻源和阻性負載,其目的是將功率從電阻源傳輸到負載。這個原理可以如此闡述:「當電阻源的內阻等於負載的電阻,所傳遞的功率最大,外部電阻可以改變,但內部電阻是恆定的。」(圖1)。

20190219TA31P1 圖1 電路圖顯示連接到阻性負載的電阻源。

當RL = RS時,傳輸到負載的功率最大。一個經常被忽視的約束是假設源電阻(RS)是固定的,不受控制,否則,會選擇RS = 0作為從電阻源獲得最大傳輸功率的最佳值。

圖2顯示傳輸給負載的功率如何隨RL / RS變化。傳輸到RL的功率取決於通過負載的電流和負載兩端的電壓。RL值變大會增加電壓(VL),但使電流(IL)減少,類似地,RL值變小會增加負載電流,但會降低負載電壓。運用一點微積分知識可以看出,最大功率發生在RL = RS時。

20190219TA31P2 圖2 PL與RL / RS的關係曲線顯示,當RL / RS = 1時負載的功率最大。

複阻抗

現在考慮阻抗是複數的AC情況,如圖3所示。源阻抗為ZS = RS + jXS,負載阻抗為ZL = RL + jXL,當ZL是ZS的複共軛時,產生最大功率傳輸。也就是說,RL = RS和XL = -XS,這有時被稱為複共軛匹配,正如預想的那樣,如果XS = 0,又退回到阻性的情況。

20190219TA31P3 圖3 電路圖顯示相連的負載和電源都有複阻抗。

都與相位有關

有趣的是,當XL = -XS時,電壓源VS可看做純電阻(RS + RL),這顯示電壓源輸出的電流與電壓同相。這並非巧合,電壓和電流波形之間的相位在負載的平均功率中起著重要作用。來看看複阻抗的暫態電壓、電流和功率的時域表示。

暫態功率由公式(1)給出:

p(t) = v(t)i(t) (1)

假設v(t)和i(t)都是正弦曲線:

20190219TA31P3-1

其中Φ是電壓和電流波形之間的相位差。

圖4顯示了在Φ=45°時的時域波形v(t)、i(t)和p(t)。

20190219TA31P4 圖4 Φ=45時的v(t)、i(t)和p(t)波形圖。

應用三角函數恆等式:

20190219TA31P4-1

p(t)運算式由常數項(1/2VSILcosΦ)和兩倍於原始頻率的餘弦函數組成。我們通常只對波形中的平均功率感興趣,這可以透過在波形的一個週期上對p(t)求積分得到。雙頻餘弦將平均為零,僅留下常數項,因此平均功率為:

PAVERAGE = 1/2VSILcosΦ。

圖4中的p(t)曲線說明,暫態功率以正弦方式變化,甚至在部分週期內變為負值。只要Φ不等於零,都有可能發生這種情況。從圖中還可以看到,p(t)的平均值為正,這表示功率被傳輸到了負載。

電力工程師會使用真實功率和視在功率(Apparent Power)的概念來量化相位對功率的影響。真實功率代表實際傳輸的功率,包括v和i之間的相位影響,以瓦特(W)為單位測量。視在功率是一個更簡化的概念,只是原始電流乘以電壓,以伏安(VA)為單位測量,以區別於真實功率。

電力工程師也使用功率因數(PF)的概念:

20190219TA31P4-2

對於正弦波形,功率因素等於電壓和電流波形間相角的餘弦:

PF = cosφ

功率因數是量化有多少視在功率轉換為有用(真實)功率的簡單直覺方式。如果Φ=0,則PTRUE = PAPPARENT,PF=1;當Φ=±90°時,PTRUE下降到零,PF=0。圖4所示的例子是Φ=45°,功率因素=0.707,說明PTRUE等於PAPPARENT的70%。

總結

本文回顧了最大功率傳輸的基礎知識和相位關係的重要性,並將其與功率因數、真實和視在功率等電力工程概念結合。筆者故意忽略了對傳輸線的討論,但這些功率傳輸概念與通常的傳輸線概念(例如駐波比、回波損耗和反射係數)有很多共同之處。

(參考原文: Power transfer and phase basics,by Bob Witte)