在本系列的第一篇文章中(請參考電子技術設計10月刊設計實例單元:「看似簡單、內藏乾坤的轉阻放大器電路」),運算放大器從有限增益單極放大器近似為無限增益單極運算放大器,推導出轉阻放大器電路的增益,如圖1所示。我們將在本文研究其後果。

20181106TA31P1 圖1 一個看似簡單的電路只有兩個元件:運算放大器和回饋電阻。

從上一篇文章得知,推導出的增益——即轉阻(transimpedance)——為:

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極點是:

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放大器增益使我們有機會將控制理論應用於電路;這個例子將說明控制理論在理解電路動態特性時有多麼重要和實用。接下來讓我們循序漸進,而非一次到位;希望這樣能夠對控制技術及其應用方式有一些深入瞭解。

極點對(二次)多項式通常表示為:

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放大器的諧振時間常數(resonant time constant)τn = 1/ωn = 1/(2 × π × fn)和阻尼ζ分別為:

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當ζ < 1時,極點變為複數極點對(pole-pair),極角(pole angle)為:

φ = cos-1ζ > 0

對於實極點(real poles),ζ > 1且φ = 0。

對於常數群(constant group)——或封包(envelope)——延遲(Maximally Flat Envelope Delay /MFED或Bessel)響應,相位隨頻率線性減小,並且發生在φ = 30°的極點角處。所有頻率的時延都是相同的,保持波形不變。然後:

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對於轉阻放大器MFED響應:

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對於臨界阻尼(critical damping)——沒有過衝的最快步階響應(step respons)——ζ = 1且τT = 4 × τi或fT = fi/4。兩個極點都是fi/2。

隨著RR變大、fi減小,放大器在vix中顯示出更大的過衝。在某種程度上,這對於Z-meter是有利的,因為極點角φ = 45°,阻尼ζ = cos(φ) = cos(45°) ≈ 0.707,並且頻率(或幅度)響應是恆定或平坦的,接近頻寬頻率。這就是最大平坦幅度(MFA)頻率響應。對於穩態(頻域)應用,MFA響應是最佳的。對於具有理想步階響應的暫態(時域)應用,MFED響應是最佳的。(在示波器垂直放大器的設計中,最佳化兩種響應的標準是衝突的。)

運算放大器的速度和穩定性

慢速運算放大器具有低fT且τT >> τi,導致兩個實極點離得比較遠。在極限值:

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這是原點和fi處的極點,fT必須足夠小以保持fT << fi。然而,隨著fT減小,迴路增益減少,可能不足以維持容許的運算放大器增益誤差。在這種情況下,精確度需要一定的速度。

隨著運算放大器fT的增加,Zm的阻尼減小,穩定性降低。對於給定的ς和fi

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若fT = 1MHz且G0 = 105,則fG = 10Hz,並且臨界阻尼迴路(ζ = 1)的fi = 40Hz。假設Ci = 10pF,那麼RR = 398MΩ,這樣對於任何較小的值都可以保持fi > 40Hz。

圖2顯示了閉迴路極點隨著fT(更快的運算放大器)的增加而移動的情況。在原點和fi(-1/τi)處的分離極點在fi/2(此時π = 1)處聚集在一起,然後變為複數極點對。隨著fT增加,極點角增加並且ζ減小,放大器變得不穩定,並且響應更加振盪。

20181106TA31P2 圖2 閉迴路極點隨著fT的增加而移動。

只要變化的參數(圖2中的fT或τT)同時出現在多項式的s2和s項中,圖中就會顯示極點移動的位置或軌跡。放大器在無限fT時阻尼最小,當τT → 0s時極點位置在極限值:

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在j x ω軸上有兩個值,其響應是穩定的(而不是振盪的):原點和±j x ∞處。兩者都是無限的——Zero(0)是無限小(infinitesimal)。當τT → 0s時,極點多項式的s中的兩個項接近零,留下恆定的1項,並且不受頻率影響。在極限情況下,極點位於j x ω軸上,ζ=0 (振盪器的條件),但在s的有限值處,它們的幅度為零。極點頻率很高,阻尼變得無關緊要,它們與fi相距太遠而不會影響迴路動態。這是理想運算放大器的條件。

因此,我們可以得出結論,對於非常慢或非常快的運算放大器,極點是充分分離的,以使響應穩定。只有在fT的範圍內,這時運算放大器和Ci極點太靠近,阻尼在足夠低的極點頻率fn處過度降低,同時放大器中發生幅度相當大的振盪。

再回到轉阻放大器,如果運算放大器幾乎是理想的,也就是說,速度快到τT ≈ 0s,則極點多項式大約為1。對於足夠快的運算放大器,fT >> fi,而且極點分開,就會有穩定的迴路。為了提供額外的阻尼,使運算放大器fT(和迴路增益)不會過低,電容器Cf需要通過RR分流。然後用包含Cf的電路代數計算:

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極點對參數為:

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Cf的作用是在二次係數中將τf加到τi,更重要的是加到線性項中的τT,這會增加阻尼。因為τi = τT,那麼:

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對於臨界阻尼,設定π=1,那麼τT = (3 + 2 × √2) ×τi ≈ 3.414 × τi,且τn ≈ 1.848 × τi。如果沒有Cf (Cf = 0pF),如先前所計算的,τT = 4 × τi。若有Cf,在相同的動態響應下,運算放大器可以更快,即具有更高的G0並實現更高的精度。

頻率響應幅度和相位是:

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對於理想的快速運算放大器(τT = 0s)並且當Cf = Cif = τi)時,在頻率fg(或ωg)處具有響應:

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如果fi = 10 × fg,那麼幅度誤差.0.5%。因為fi = 10 × fg,相位誤差 ≈ 6°。相位誤差對頻率效應比對幅度誤差更敏感。這在阻抗計電路設計中很重要,有時在光探測器(photodetector)放大器中也很重要,因為光探測波形要與一些其他波形同步。

避免大回饋電阻的電路

對於一些具備轉阻放大器的Z-meter(Zm)設計,RR要足夠大,即10MΩ或更大;Zm必須放大比較寬的電流範圍,通常低至nA或更低的範圍。光探測器訊號也可能非常小。當RR變得非常大時,要得到期望的阻尼,分流Cf必須很小,並且電阻分流寄生電容還可能過大。為了避免這個問題,可以使用圖3的電路代替。

20181106TA31P3 圖3 使用此電路避免電阻分流寄生電容過大。

要讓運算放大器成為高增益單極運算放大器,G ≈ -1/s × τT(參見本系列第一篇文章有關G的推導)。回饋分頻器傳遞函數是:

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且τf = RR × Cf。當電路用Rp = R1||R2求解時:

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理想運算放大器(τT = 0s)的Zm降低到:

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對於Rp = 0Ω,跨阻進一步降低至:

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如果在輸出與RR和Cf之間插入快速×1緩衝放大器,則R1和R2分壓器輸出電阻不需要太小(Rp << RR)。那麼當Rp = 0Ω且運算放大器具有τT時:

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該電路與沒有輸出分頻器的情況有兩個不同:RR和τT都有效地增加了1/Hdiv

結語

透過這系列兩篇文章的介紹可以看出,即使是只有兩個元件的簡單電路也可能涉及複雜的動態推導;設計人員有時會避免使用這些推導來減少數學計算的麻煩,但是使用這些公式可以更充分地了解給定電路在各種條件下的性能表現。我們介紹的轉阻放大器分析可為這樣的電路設計提供一個範本,並提供如何分析放大器動態特性的指導性案例。

不要因為立方或更高次多項式而拒絕使用s域代數來解決電路動態問題。我們在本實例中遇到了一個立方項,但沒必要去解它,因為透過簡化可將多項式降為二次方程式,方便以後的分析計算。這種情況很常見,因為電路在設計階段常常被模組化,不是彼此隔離就是通過受控制的埠阻抗(controlled port impedances)進行受控制互動。設計中可以應用範本方案,但通常限於s域中的二次方程式。

本文同步刊登於EDN電子技術設計2018年11月平面雜誌

(原文出自EDN姊妹刊,ASPENCORE旗下Planet Analog網站: Seemingly Simple Circuits: Transresistance Amplifier, Part 2--Transimpedance Amplifier Dynamics,by Dennis Feucht)