一位技術雜誌編輯曾告訴我,由於讀者在不斷變化,所以雜誌文章的選題每隔八個月要重複一次;而因為我上次發表關於波德圖(Bode Plots)的文章已經有一段時間了,我認為現在是時候機來更新一下這個基本的穩定性工具了。

波德圖可用於測量增益和頻率隨頻率對數刻度(logarithmic frequency scale)的變化。這些測量資料提供了大量有關系統性能的資訊,包括穩定性和響應時間;振鈴(ringing)和其他可能性顯示在性能曲線中。

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圖1:波德圖與系統暫態響應直接相關。

波德圖大多可以使用基本的代數來創建。為了做到這一點,我們可透過拉普拉斯轉換(Laplace transform)實現內建的轉換,從而簡化數學運算。來自Microsemi的降壓穩壓器傳遞函數如圖1所示。

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圖2:來自Microsemi的降壓穩壓器傳遞函數。

ωo項是電路元件的轉角頻率(corner frequency),本文稍後將會介紹;透過查看方程式中的相應項並理解一些簡單的規則可以估算波德圖:

  • 分母中的「s」一次方項
    o 從轉角頻率處開始,增益以20 dB/decade滾降(roll off);
    o 從轉角頻率以上的十倍頻(decade)率點開始,直到轉角頻率以下的十倍頻率點,相位以45° dB/decade滾降。
  • 分母中的「s」平方項
    o 從轉角頻率處開始,增益以40 dB/decade滾降;
    o 從轉角頻率以上的十倍頻率點開始,直到轉角頻率以下的十倍頻率點,相位以45° dB/decade滾降。

平方項是「雙極點」(double poles),總相位延遲180°。

一次項是「單極點」(single poles),總相位延遲0°。

分子中的項在線形圖中增加而不是減少了。增益和相位的例外是右半平面零點(Right Half Plane Zero),由於「s」是負值,因而增益增加、相位減小。

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圖3:右半面零點(RHP Zeo)方程式和線形圖。

基本的L (電感)和C (電容)元件如圖4所示。

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圖4:基本降壓穩壓器電源和控制元件。

從這些圖產生了補償網路;補償網路的目的是在增益超過零0dB (增益為1)的那一點具有足夠的相位邊限(phase margin),對於大多數脈衝寬度調變轉換器,這遠低於只有開關頻率一半的奈奎斯特率(Nyquist rate)。相位邊限其實就是180°相移之間的度數差,大多數情況下,45°的相位邊限被認為是穩定的;30°的相位邊限也有可能,但它的穩定可能是有條件的。 典型的補償網路分為類型1、類型2和類型3,如圖5所示。

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圖5:三種常見的補償網路類型。

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圖6:基本的運算放大器補償。

有時運算放大器的計算會令人困惑,特別是對初學者而言,訣竅是將運算放大器的負輸入視為固定的直流(DC)電壓,將其當做交流接地(AC ground),然後用阻抗代替電阻,使Rf變為Zf,Rin變為Zin;我們知道交流電流從Vin流向Vout,方程式變為: 交流電流 = Vin/Zin = -Vout/Zf 求增益的值,得到Vout/Vin = -Zf/Zin。只需根據補償類型(上面的類型1、2或3)替換Z值中的阻抗;這有助於瞭解阻抗:

  • 電感 = sL = jωL
  • 電容 = 1/sC = 1/jωC
  • 電阻就是R 透過在功率級(power stage)波德圖上繪製補償波德圖並添加兩個圖,可以相當容易地實現穩定性。筆者修改過的Excel檔範例如圖7所示。

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圖7:修改過的Excel檔範例。

該增益組合是系統的開路增益,用來確定穩定性和暫態響應。

我喜歡繪製各個分支阻抗(branch impedance)圖,以查看電阻和電容之間的AC 「轉角」或「短路」的位置。可以透過更改分量值來查看頻率的改變,更重要的是,改變這些值可以改變波德圖,這有助於瞭解系統運作情況。

這裡的目標是在交叉頻率附近讓斜率為-1 (-20dB/dec),在這個頻率點上曲線越過0dB;一旦增益圖看起來不錯了,就可以添加補償網路和主功率級相位點陣圖,然後將它們加進來形成組合圖。檢查交叉頻率的相位邊限以確保穩定運作,這樣就大功告成了!

責編:Judith Cheng

(參考原文:Bode Plots and Compensation Networks,by Scott Deuty;本文原刊於EDN姊妹刊,ASPENCORE旗下Planet Analog網站,作者為電力電子專家)