零極點補償器(Pole-zero compensator)常用於修正回饋放大器回路的幅度和相位。這篇文章超出了教科書標準的解釋程度,本文考慮了工程師在使用補償器設計電路時需要注意的地方,甚至還涉及了補償器設計所採用電晶體的細節。

被動補償器

零極點補償器可以是超前-滯後或滯後-超前補償器。它們經常出現在電路和控制理論教科書中。最常見的被動電路補償器有三個元件:兩個電阻和一個電容。圖1所示的電路放置在放大器內方便的位置,尤其是在反饋回路中,以提供額外的相位或高頻幅度「加重」。

20180704TA01P1 圖1 典型的被動電路補償器。

該電路本質上是個RC分頻器,增加了與C並聯的電阻R1。R1、C組合的阻抗為:

20180704TA01P1-1

那麼,傳遞函數就是分壓器公式:

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第一個因數是準靜態(0 + Hz)增益,即沒有C的分壓器。動態或頻率相關因數在ωz =-1/R1C處有一個零點;在ωp =-1/(R1 || R2)C處有一個極點。當使用波特(Bode)或頻率回應圖時,使用頻率ω的大小(即其絕對值),負號被丟棄。

但是,請記住,波特圖上的極點和零點頻率不是正極點和零點——通常不是,但如果是的話,它們在圖示上仍然是正的。

由於並聯電阻的阻值比R1低,所以它們也具有較低的時間常數和較高頻率。極點頻率比零點高。隨著頻率從低值開始增加,零點開始在低於ωz約十分之一的地方產生正向(超前)相位,它以45°/dec的線性增加,直到ωz為+ 45°。然後再高十倍,達到+90°;其在ωz的每一側都有十倍的相位影響。

類似,極點在ωp周圍有±10倍的相位相等範圍,但在ωp的每一側以-45°/dec線性地貢獻負(滯後)相位。在ωp,極點的相位貢獻是-45°(極點或零點相位線性近似的最大誤差約為±6°)。

如果ωp > ωz超過二十倍,則極點與零點之間不存在相位的相互作用,可以實現從零點開始的完整的+ 90°相位。

零點相位超前位於回路增益幅度||GH||=1附近,位於回路的橫向或單位增益或交叉頻率fT處。對於||GH||< 1,回路沒有足夠的回饋幅度(與正弦波幅度相同)來維持振盪。

回饋電路中的常見問題是相位滯後或延遲過大,以及回路周圍的相移(回路增益GH)太接近-180°(-π,以弧度表示)。回路中添加補償器以加大正相位。這增加了相位裕度,即給定頻率與-180°(回路振盪處)之間的回路相位差。因此,一般的回饋設計目標是在fT處將回路相位保持在-180°以上,以實現正相位裕度。

理想情況下,補償器只應貢獻零點而沒有極點,但實際的類比電路總是產生不少於零點的極點(在系統級,利用並聯電路,有方法可以規避這種情況,例如在PID補償器中。而在柏拉圖式的理想DSP世界中,可以無極點地程式設計零點,但不能即時實現)。

超前-滯後補償器有一個不需要的極點伴隨著所需的零點。使用該電路進行補償設計的挑戰是將零點放置在需要額外(正)相位的位置,同時將極點放置在對回路動態性能較不重要的較高頻率處,高於fT十倍以上是不錯的選擇。

為分離極點和零點,必須透過使R2 <<R1來分開時間常數,然而,這也使得分頻器準靜態增益<< 1。是利是弊,取決於回路。對於由準靜態回路增益太大導致振盪(或迴圈過度)的回路,GH0不僅會產生零點增加相位,而且由分頻器引起的GH0的減小會使波特幅度曲線向下。因幅度隨頻率下降,fT經由移動到圖2中左側(如圖2所示)而降低——下降到相位延遲不那麼大且回路更穩定的位置。

20180704TA01P2 圖2 使用補償器後的波特圖變化。

另一方面,如果回路的極點太多,但又必須保持回路增益以滿足精準度(準靜態誤差)要求,則超前-滯後補償器不是合適的補救措施。零點可以用來消除不需要的極點,但頻率更高的補償器極點仍存在。

實際上,補償器只是將回路極點轉移到更高頻率,儘管不超過十倍。因此,當額外的零點和減小的準靜態增益都有利於控制時,最好使用超前-滯後補償器。

雙被動和主動補償器

接下來,本文從反饋回路的零極點補償器繼續,並提出一些教科書中通常看不到的方法。雙RC超前-滯後補償器是RL超前-滯後補償器,如下所示,其傳遞函數為:

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不採用並聯-R極點,雙重補償器採用串聯-R極點、時間常數τp=L/(R1+R2);而零點時間常數為τz = L/(R2)。極點的串聯-R大於零點的,在時間常數的分母中,極點頻率較大:對於RC超前-滯後電路,ωpz

20180704TA01P3 圖3 雙重補償器電路圖。

用電容來實現電路通常比用電感更合適,但有個有趣的例外:即當電感由電晶體和電阻合成時,如圖4所示。

20180704TA01P4 圖4 電感由電晶體和電阻合成的補償器及其高頻等效電路。

在β(s)開始滾降的fβ和fT之間,其中β(s)= 1是高頻(hf)區域,且基極阻抗在發射極旋轉+ 90°。在該高頻區域中的基極電阻RB採用如圖4右側所示的等效電路(並聯RL),其中電感值取決於BJT的速度(由fT表示),並在表述L的公式中用作τT,其中τT = 1/ωT = 1/2 × π × fT

該等效電路可方便地用於在高頻區補償的超前-滯後補償器。當為傳遞函數求解該高頻等效電路時:

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該電路有一個零點和一個極點,極點/零點頻率之比為:

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透過R1>>R2分開極點和零點(接近或在同一頻率上的極點和零點是雙重點(doublet)),其對準靜態增益產生的效果與對被動電路的相同。RB影響極點和零點的位置,並在頻率上移動極點和零點。極點和零點被限制在高頻區域,或者當回轉(gyration)停止在該區域之外時,L「消失」。在fβ以下,僅為RB/(β0+1)。

上述的一個變化如圖5所示,採用了並聯L、R2,而非串聯。

20180704TA01P5 圖5 變化後的補償器電路。

RL超前-滯後補償器的傳遞函數為:

20180704TA01P5-1

它與RC補償器在形式上的類似處在於都具有並聯-R極點,不同處在於在原點(origin)有零點。零點和極點頻率分別為ωz=-1/(L/R1)和ωp=-L/[R1||R2];其中零點頻率是零點增益達到一時的頻率。這適用相同的一般考慮。

滯後-超前補償器利用安置ωpz以降低低頻下的回路增益,然後當fT接近以-1雙對數斜率穿越fT的平穩過渡時,將幅度回應從零點展開(flare out)。相同的主動元件電感合成可用於合成主動滯後-超前電路。

20180704TA01P6 圖6 主動補償器及其高頻等效電路。