負反饋電路分析最常見的方法是雙埠分析(TPA)和回歸比分析(RRA)。兩者既有不同,也有相似,常讓人困惑,本文將透過熟悉的電路實例來澄清這兩者。在圖1的兩個電路框架圖中,使用下標字型TP和RR來區分雙埠和回歸比這兩種類型。

20180221TA01P1 圖1 (a)雙埠和(b)回歸比分析的負反饋電路框架圖。

具體而言,αTP和αRR是開環增益,而ßTP和ßRR是回饋係數。圖1a假設是單向塊,圖1b則更通用,因為它還考慮了誤差放大器周圍的饋通(feedthrough),如增益塊αft所表示。

雙埠分析

取決於sI和sO是電壓還是電流,有四種可能的拓撲結構,如圖2中的運算放大器所示。在每個分圖題中,連字號前面的一項是輸入相加的方式(串聯電壓,並聯電流),而連字號後面的一項是指,回饋網路採樣sO以產生回饋訊號sF的方式(並聯電壓,串聯電流)。對每個拓撲結構,閉環增益呈現形式為:

20180221TA01P2-1

其中:

TTP = aTP ×βTP (2)

是環路增益,Aideal是極限條件(TTP→∞)中sO/sI的值,透過使αTP→∞得到。另外,回饋係數是:

20180221TA01P2-2

TPA尋求一種會考慮放大器和回饋網路之間任何互動(如載入)的αTP運算式。負反饋將每個埠的開環電阻rpa轉換為閉環電阻,使這項任務變得容易:

R = rpa (1 + Tpa ) ±1 (4)

串聯情況下為+1,並聯情況下為-1。如果TTP夠大,在串聯情況下可將R視為開路,在並聯情況下可將其視為短路。

20180221TA01P2 圖2 使用運算放大器來說明四種基本回饋拓撲。

作為第一個例子,將TPA應用到圖3a的電流放大器,該電路有:

20180221TA01P3-1

為得到αTP,我們修改了誤差放大器,如圖3b所示。圖3a中輸入源看到的電阻是Ri=R2/(1+αv),負載看到的電阻是Ro = R1(1+αv)。對於大的αv,我們期望Ri很小、Ro很大,因此,如果將Ro近似為開路(OC),那麼從放大器的輸入埠看到的回饋網路就是R2+R1的簡單串聯組合。同樣,如果將Ri近似為短路(SC),則從放大器輸出埠看到的回饋網路就是R2//R1的簡單並聯組合。因此我們有:

20180221TA01P3-2

表明開環增益為:

20180221TA01P3-3

請注意,αTP≠αv。簡化後的迴圈增益:

20180221TA01P3-4

重新考慮αv = 10V/V和R1 = R2 = 10kΩ的例子。帶入上面的等式,給出:

20180221TA01P3-5

儘管有OC和SC近似值,但透過與直接分析得出的Aexact = 1.909A/A相比,這相當有利。為確保這種近似性並非偶然,可檢查Ri和Ro的值,利用檢查圖3b,有ria=R2+R1和roa=R2//R1,和應用等式(4),所以得到:

20180221TA01P3-6

從而證實Ri比電路中的其他電阻小得多,Ro大得多。

20180221TA01P3 圖3 (a)端接於短路負載的並聯-串聯配置;(b)使用TPA查找開環參數αTP、ria和roa的電路。

回歸比分析

這種方法,如圖1b的電路框架圖所示,可計算閉環增益:

20180221TA01P3-7

其中,TRR是環路增益,Aideal和αft分別是TRR→∞和TRR→0極限條件下sO/sI的值。這些極限是透過使圖1b中的αRR→∞和αRR→0來實現。根據以下流程,得到TRR為誤差放大器的從屬源αRRsE的回歸比:

(a)設置sI→0;

(b)在從屬源aRRsE的緊下游立即切斷回饋環;

(c)與αRRsE源相同類型和極性的測試訊號sT通過電路下游;

(d)找到由從屬源本身返回的訊號sR

(e)獲得回路增益作為回歸比。

20180221TA01P3-8

隨著分析的進行,發現將TRR表達為積很方便,類似於公式(2):

TRRRR ×βRR (11)

得到回饋係數βRR

20180221TA01P3-9

或更簡單地,βRR=TRRRR

將這個過程應用於圖3a的電流放大器,產生了圖4a的電路,利用檢查,並有vR = αvvD = αv(-vT),所以:

20180221TA01P3-10

因此,αRR = αv和βRR = TRRRR = 1。使αv→0,以便得到饋通增益,如圖4b所示。透過檢查,iO = iI;所以,αft=iO/iI = 1A/A。再考慮αv = 10V/V和R1=R2 = 10kΩ的例子,因此現在有:

TRR = 10

αRR = 10 V/V

βRR = 1 V/V

αft = 1A/A

ARR = 1.909 A/A (14)

對比公式(14)與公式(8),觀察各個T、α和β值的不同。另外,ARR是準確的,而ATP只是近似。為了符合圖1a中採用單向塊這一假定,TPA透過使TTP = 20(與TRR = 10相比)盡可能地接近Aexact。對於αv的當前值來說,使TTP = 21(而非20)將導致ATP = Aexact,這可以很容易地驗證。但是,對於饋通變得更相關的較低值(例如αv=1V/V)來說,它不起作用。αv=0時,差異最大,其中,ARR=Aexact=1V/V,但ATP = 0。

20180221TA01P4 圖4 用於得到圖3a中電流放大器的(a)環路增益TRR和(b)饋通增益αft的電路。

更複雜的例子

將這兩種方法應用於圖5a的I-V轉換器,但是使用具有非無限輸入阻抗ri和非零輸出阻抗ro的更真實的運算放大器模型。正如我們知道的,該電路有:

20180221TA01P5-1

20180221TA01P5 圖5 (a)並聯-並聯配置;(b)得到誤差增益αTP的電路。

由於這是一個並聯-並聯拓撲結構,所以回饋電阻同時為輸入和輸出兩個埠的接地電阻,如圖5b所示,所以有:

20180221TA01P5-2

顯示開環增益:

20180221TA01P5-3

再次注意αTP≠αv。而且,環路增益為:

20180221TA01P5-4

對於RRA,請參考圖6的電路,它分別給出:

20180221TA01P6-1

所以環路和饋通增益簡化為:

20180221TA01P6-2

20180221TA01P6 圖6 用於得到圖5a中I-V轉換器的(a)環路增益TRR和(b)饋通增益αft的電路。

請注意,αft和Aideal極性相反。針對一種容易想像的特定情況,即αv = 60V/V和ri=ro = R = 10kΩ,來比較這兩種方法。是的,用一款不太合格的運算放大器,可以更好地顯示其差異。把這些資料帶入相關公式,得到:

20180221TA01P6-3

20180221TA01P6-4

注意αTP和αRR,以及βTP和βRR的幅值、極性和量綱(dimension)的差別,ATP和ARR(=Aexact)也有細微差別。如果運算放大器ro = 0,根據公式(18)將不存在饋通。在這種情況下,將得到:TTP = TRR = 30,ATP = ARR = -9.677V/mA。如果運算放大器也有ri = ∞,則TTP = TRR = 60,ATP = ARR = -9.836V/mA。然而,仍然會有很大的差異,即aTP = -600V/ma和TP = -0.1mA/V,以及ßRR = 60V/V和ßRR = 1。儘管存在差異,這兩個參數集仍將設法提供相同的A值。

另外兩個例子

最後來看一看圖7a和b的單電晶體電路。圖7c中其共同小訊號模型顯示,誤差增益基於gm(在運算放大器的盒子中,它是基於αv的),而且,兩個電路都是串聯-輸入型的。然而,根據將輸出作為發射極電壓vo還是作為集電極電流io,分別有並聯-輸出或串聯-輸出類型,兩個電路都很簡單,可以直接分析它們。但是,透過TPA和RRA進行研究將更具啟發性。

20180221TA01P7 圖7 假定gm = 40mA/V、rπ = 2.5kΩ、ro = 40kΩ和R = 1.0kΩ。(a)串聯-並聯電路;(b)串聯-串聯電路;(c)其共同小訊號模型。

˙圖7a串聯-並聯電路的TPA:為得到Aideal,讓gm→∞,如圖8a所示。這使得vε→0或vo→vi,意味著Aideal = 1.0V/V(=1/βTP)。參照圖8b,利用檢查,有vo=gm(R//ro)vε或αTP=vo/vε=gm(R//ro),帶入資料,可以得到:

βTP = 1 V/V

αTP = 9.02 V/V

TTP = 39.02

ATP = 0.9750 V/V (21)

20180221TA01P8 圖8 用於得到圖7a中串聯-並聯電路的(a)Aideal和(b)αTP的電路。

˙圖7a串聯-並聯電路的RRA:為得到TRR,參見圖9a,其中ir = gmvπ = gm[(-it)(rπ//R//ro)];為得到αft,參見圖9b,其中vo = vi(R//ro)/[rπ+(R//ro)]。所以:

20180221TA01P9-1

帶入資料,得到:

TRR = 28.07

αRR = 40 mA/V

βRR = 0.7018 V/mA

αft = 0.2867 V/V

ARR = 0.9753 V/V (22)

20180221TA01P9 圖9 用於得到圖7a中串聯-並聯電路的(a)TRR和(b)αft的電路。

˙圖7b串聯-串聯電路的TPA:為得找Aideal,讓gm→∞,如圖10a所示。這使得vε→0,從而在rπ上產生虛擬短路,所以iR = vi/R。超級節點處的KCL給出io = iR = vi/R,所以Aideal=io/vi=1/R(=1/βTP),要得到αTP,依圖10b繼續,結果如下:

20180221TA01P10-1

帶入資料,得出:

βTP = 1 V/mA

αTP = 27.87 mA/V

TTP = 27.87

ATP = 0.9654 mA/V (23)

20180221TA01P10 圖10 用於得到圖7b中串聯-串聯電路的(a)TRR和(b)αft的電路。

˙圖7b串聯-串聯電路的RRA:為得出TRR,參見圖11a。這與圖9a相同,所以有相同的TRR。要得到αft,按圖11b繼續,結果如下:

20180221TA01P11-1

帶入資料,得出:

TRR = 28.07

αft = .7.018 μA//V

ARR = 0.9654 mA/V (24)

20180221TA01P11 圖11 用於得到圖7b中串聯-串聯電路的(a)TRR和(b)αft的電路。

顯然,串聯-串聯電路的饋通比串聯-並聯電路的小,所以ATP→ARR

比較TPA和RRA

前文利用以運算放大器和電晶體作為增益元件(運算放大器的增益為αv,電晶體的為gm)的簡單電路,討論了所有四種回饋拓撲結構。比較過程和結果,可發現:

˙RRA比TPA更通用,因為它考慮了誤差放大器周圍的饋通,因此,RRA的結果是準確的,而TPA的結果只是近似;

˙對於高環路增益,TPA和RRA之間的差別最小,當環路增益下降到零時,差別最大,其中ARR→αft但ATP→0;

˙TPA將環路增益計算為乘積TTP = αTPβTP;RRA將其計算為比值TRR = -vR/vT

˙TPA對四種回饋拓撲中的每一種都使用了不同的雙埠表述,所以一般情況下,不同拓撲結構的αTP、βTP和TTP會不同;

˙相比之下,給定電路的環路增益TRR與拓撲結構無關,而是取決於輸入和輸出訊號的類型和位置(但αft通常與拓撲結構相關);

˙對於誤差放大器和回饋網路之間的任何互動(如載入),兩種分析的處理方式都不同。TPA假定βTP = 1/Aideal,然後透過使用OC和SC近似來操控放大器電路以得到αTP,所以通常αTP≠αv(或αTP≠gm);

˙除打破訊號注入環路之外,RRA不會影響電路的操作。RRA假定了αRR = αv(或αRR = gm),它將誤差放大器和回饋網路間相互作用的影響轉移到回饋網路本身,所以通常βRR≠1/Aideal

˙TTP和TRR有時可能相同,但不應該把這當作常態。尤其不應該使用TRR來計算ATP,或使用TTP計算ARR。例如,在嘗試使用公式(3)時發生的錯誤;

˙RRA感覺更直覺,也更適合實驗室的電腦類比或測試。另一方面,TPA迫使你以更能揭示放大器和回饋網路之間相互作用的方式來剖析電路。

(參考原文: Two-port vs. return-ratio analysis,by Sergio Franco)