數位電子課程–第4部份:布林代數和布林函數

作者 : Giovanni Di Maria

無論是電流、數位資料還是任何類型的變數,系統的最終選擇都只取決於這些事實的真假。本文將探討數位電子電路的核心主題,即二進位值的布林理論...

正如在之前的文章中看到的,數位電子產品的資訊只有兩種可能狀態:真(true)與假(false)。無論是電流、數位資料還是任何類型的變數,系統的最終選擇都只取決於這些事實的真假。事實上,二進位電子電路也因此而得名。本文將探討數位電子電路的核心主題,即二進位值的布林理論。

邏輯命題

布林代數(Boolean Algebra,以數學家George Boole的名字命名)是數學的一個分支,包括二進位處理的理論和實踐。它基於這樣一個事實,即每個概念或每個句子都必然為真與假。這個數學分支關注的是將幾個邏輯句子放在一起並驗證其最終結論。透過組合更簡單的命題來創建新的邏輯命題。下面顯示了一些示例邏輯命題。

  • 微控制器的接腳4上存在邏輯電壓1(+5V);
  • 在積體電路的接腳2上,有邏輯電壓0(0V);
  • 電池電壓高於8V;
  • 攝影機向控制系統發送了一個true的邏輯訊號;
  • 輸出端沒有電流流過負載。

顯然地,命題可以具有「恆真句」(logically true;如第一、第二、第三和第四命題)或「恆假句」(logically false;例如第五命題)的特徵。布林代數不考察單個命題的邏輯值,而是著眼於將多個命題組合在一起,作為不同事實之間邏輯運算的結果,最終形成單一命題的可能性。例如,以下命題結合了幾個條件並創建了一個新的、單一的邏輯最終命題,由AND(與)型的條件句處理:

  • 微控制器接腳2為真邏輯電壓(+5V),微控制器接腳4為假邏輯電壓(0V);
  • LM35感測器檢測到溫度高於40°C,BMP180感測器檢測到壓力小於1010hPa。

在下一個示例中,以下命題結合了幾個條件並創建了一個新的且唯一的邏輯最終命題,由OR(或)類型的條件句處理:

  • LM35感測器檢測到的溫度低於20°C或高於36°C。

邏輯命題也可以通過NOT(非)條件句處理否定句,如下例所示:

  • 微控制器接腳2檢測到的邏輯值與1不同。

因此,設計者可以簡單地將結構和命題盡可能清晰和有效地結合起來,以創建任何類型的子句。在後面的課程中,我們還將瞭解如何優化邏輯運算式,以使其更短更簡單。

真值表(AND)

真值表(truth table)是用於確定兩個或多個命題的結果是真還是假的簡單表格。它們使計算運算式中考慮的命題真值變得更容易。以下列出一些與邏輯運算子AND、OR和NOT相關的真值表。

Digital Electronics Course – Part 4: Boolean Algebra and Boolean Functions

上表很容易閱讀。兩列(Input1和Input2)代表任何通用電路輸入的邏輯狀態。第三列“Output”表示相應輸出的邏輯狀態。使用邏輯運算子AND,只有當兩個輸入的邏輯級別都為真(1)時,輸出才為真(1)。兩個輸入的所有組合生成四種可能的邏輯或電氣場景。在這種情況下,兩個命題的處理方式是,只有當兩個命題都為真時,結果才為真。

1的電路圖中可以看出該表的實際應用,其中兩個相互串聯的開關必須點亮一個燈泡。很明顯,這個燈泡只有在兩個開關都閉合並且電流可以流過電路時才會點亮。換句話說,只有當第一個輸入和第二個輸入都為邏輯值真時,燈泡才會被打開。

AND condition.

圖1:兩個開關和一個燈泡完美地模擬了兩個邏輯命題和AND條件的操作。

有趣的是,根據下面的通用公式,AND類型的邏輯運算式也可以用各個命題之間的乘法來表示:

Digital Electronics Course – Part 4: Boolean Algebra and Boolean Functions

同樣,當兩個輸入都為值1(1×1=1)時,電路的輸出等於值1。

Digital Electronics Course – Part 4: Boolean Algebra and Boolean Functions

隨著輸入數量的增加,與輸出的邏輯狀態相關的最終組合的數量也會增加。例如,對於一個由三個輸入和一個輸出組成的真值表,就會發生這種情況,其電路圖如2所示。

Digital Electronics Course – Part 4: Boolean Algebra and Boolean Functions

使用這種解決方案,燈泡只有在三個開關閉合時才會點亮,從而允許電流流過電路。三個輸入的所有組合產生八種可能的邏輯或電氣場景,只有當第一個輸入、第二個輸入和第三個輸入同時取邏輯值真(1)時,燈泡才會打開。同樣,AND類型的邏輯運算式可以使用各個命題之間的乘法來表示,如上表所示。第五列對於真值表的實際用途來說並非不可或缺,但很有用,它顯示了如何使用各個邏輯命題值之間的簡單乘法來計算AND值。三個開關,即三個邏輯輸入,只有當三個輸入都等於1時,電路的輸出才等於邏輯值1(1×1=1)。

Three switches and a light bulb perfectly simulate the operation of three logical propositions and an AND condition.

圖2:三個開關和一個燈泡完美模擬了三個邏輯命題和AND條件的運行。

由於計算的物件是二進位值,即它們只能呈現兩種不同的邏輯狀態,因此透過組合開關的所有狀態來計算存在多少個解決方案,可以簡單地計算有”n”個不同元素的”k”類重複排列的數量,根據以下公式:

Digital Electronics Course – Part 4: Boolean Algebra and Boolean Functions

下表給出了使用不同開關重複排列的次數:

Digital Electronics Course – Part 4: Boolean Algebra and Boolean Functions

真值表(OR)

前面示例的規定要求所有開關都閉合,以使電流在電路中迴圈。如果只有一個開關打開,燈泡仍會關閉。邏輯運算子OR的真值表相對更柔和、更靈活,並提供以下僅兩個開關的可能排列編碼:

OR Truth table with 2 inputs.

相關電路圖如3所示,顯示了電壓發生器、兩個開關(這次彼此並聯)以及電路輸出端的燈泡的佈置。在這種類型的配置中,如果兩個開關中至少有一個閉合,則輸出端的燈泡會打開。只有當兩個開關都打開時,即如果相應的邏輯信號為0,燈泡才會關閉。

Two switches and a light bulb perfectly simulate the operation of two logical propositions and an OR condition

圖3:兩個開關和一個燈泡完美模擬了兩個邏輯命題和OR條件的運行。

同樣,增加輸入的數量,與輸出的邏輯狀態相關的最終組合的數量也會增加。對於由三個輸入和一個輸出組成的真值表,最終場景如4所示。總排列數遵循與之前相同的公式。

Digital Electronics Course – Part 4: Boolean Algebra and Boolean Functions

根據以下通用公式,OR類型的邏輯運算式也可以使用各個命題之間的加法來表示:

Digital Electronics Course – Part 4: Boolean Algebra and Boolean Functions

最終,重複排列的數量與AND解決方案相同。

Three switches and a light bulb perfectly simulate the operation of three logical propositions and an OR condition.

圖4:三個開關和一個燈泡完美模擬了三個邏輯命題和OR條件的運算。

真值表(NOT)

邏輯運算子NOT(一元)對應的真值表非常簡單。它透過反轉輸入的邏輯狀態來運行。如果輸入為真,則輸出為假,反之亦然。以下的真值表總結了它的簡單操作。

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根據以下通用公式,NOT 類型的邏輯運算式也可以使用減法表示:

Digital Electronics Course – Part 4: Boolean Algebra and Boolean Functions

結論

真值表不僅是一種數學和邏輯理論,而且在數位系統的設計中也非常有用。在任何程式設計語言中都有許多研究和不同的方法來使用這些表,尤其是在微控制器應用程式的應用方面。因此,我們邀請讀者深入研究數位電子領域,這無疑將在任何類型的已開發的電子解決方案中具有廣泛的實際應用。

編譯:Ricardo Xie

(參考原文:Digital Electronics Course – Part 4: Boolean Algebra and Boolean Functions,by Giovanni Di Maria)

活動簡介

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