棒球運動的物理學

作者 : Giovanni Di Maria,EEWeb特約作者

許多物理運動都與棒球球賽有關,必須使用客觀數據來計算或解出各種參數。

許多物理運動都與棒球球賽有關,必須使用客觀數據來計算或解出各種參數。棒球是最複雜的物理系統之一,充滿了球速、能量、力度、質量、角度以及其他數據組成的繁複數學公式。

棒球的投擲

牛頓定律(Newton’s Laws)是棒球的要角。簡單把球丟出去的過程也遵循牛頓在三百多年前寫下的物理原則。牛頓第一運動定律(Newton’s first law of motion)表明,除非受到外力改變原本狀態,否則任何物體都會保持靜止或以均速直線運動。牛頓第二運動定律(Newton’s second law of motion)則能讓你用質量和加速度的乘積來算出外力︰

Baseball physics - eq 1

其中︰

  • ‘F ’是力的向量,單位是牛頓(N)
  • ‘m ’是物體的質量,單位是公斤(kg)
  • ‘a ’是加速度向量,單位是m/s2

換句話說,它表明若一個外力作用在物體上,那麼加速度的方向會與力的方向相同,因此這兩個向量會朝向同一方向作用。這條公式可以改寫成微分方程式︰

Baseball Physics - eq 2

因為︰

Baseball Physics - eq 3

Baseball Physics - eq 4

這些公式讓我們能用施加在物體上的外力來得出該物體的位置和速率。這兩個定律說明,球員必須在球上施力才能讓它加速。球員的下半身、軸心腳和前導腳的動作會與上半身和手臂同步,共同決定球速。這一系列牽動全身的精準動作(1)能把每一個動作的能量最大化,讓球以最高速度投擲出去。

Ball throwing phases

1︰投球動作的各階段

球速與球的質量(m)、球員手臂所施加的外力(F)以及球在加速過程中的位移(x1)有關,這也是球員們會做出那些旋轉動作的原因。計算最終球速(v1)的方程式如下︰

Baseball Physics - eq 5

但是,因為v0 = 0,球在球員出手時的速度為︰

Baseball Physics - eq 6

又,根據牛頓第二運動定律,已知球的加速度為︰

Baseball Physics - eq 7

將它代入速度的方程式後會得到︰

Baseball Physics - eq 8

加入一連串的旋轉動作後,球在出手時的速度為v2,可由下式求得︰

Baseball Physics - eq 9

兩個速度的比值為︰

Baseball Physics - eq 10

因此,速度v2等於︰

Baseball Physics - eq 11

投手加入一系列的動作後,球的位移(x2)會變得更大;因為x2 >> x1,所能投出的球速也會增加。舉例來說,假定某位球員的x1是1.5公尺、x2是3.5公尺。若他原本的球速是每小時100公里(km/h),在旋轉動作的幫助下,他的球速能夠達到153km/h,而球的動能也會呈指數級增加。

牛頓第三運動定律

牛頓第三運動定律(Newton’s third law of motion)表明,每一個作用都會引起一個大小相同、方向相反的反作用。換句話說,當一個物體對第二個物體施力時,第二個物體同時也會對第一個物體施力。自然界完全不存在一次單獨出現的力,它們一定會成對出現。這兩種力的大小相同,反向則相反。作用力與反作用力的受力對象不同,因此並不會互相抵消(2)。球棒擊中球時會對球施力,讓它馬上開始加速。球也會對球棒施力。球的質量遠小於球棒的質量以及擊球者的質量。在此系統中的兩個物體——球棒(1)和球(2)互動,互相對對方施加的外力︰

  • 形式相同且在同一直線上
  • 方向相反Baseball Physics - eq 12

作用力與反作用力的受力對象永遠不同,它們不會結合成一個力,也不會互相抵消。球棒對球施力,球也會對球棒施力,它們互相在相反的方向上施加相同大小的力。舉例來說,如果球棒對球施加1800N的力,那麼球對球棒施加的力就是-1800N。

Newton's third law

2︰牛頓第三運動定律。

球被投擲出去且在碰到球棒後,會彈跳並開始旋轉(圖3)。這是因為在球周遭的空氣所施的力與球轉動方向相反,而且會跟著球的轉動方向流動。

Ball rotation

3︰氣流的存在使得轉動中的球發生偏移

衝量定理

有些時候,外力對物體的作用非常快速,此時很難準確地描述整個系統的表現,這是因為它們的速度太快了。舉例來說,棒球員用球棒擊球的情況下,球棒施在球上的力會快到難以分析。正因如此,我們必須使用衝量定理(Impulse theorem)。從以下等式可以看出,衝量是施加在物體上的平均作用力與此力作用時間的乘積︰

Baseball Physics - eq 13

在一段時間中施加在物體的外力衝量等於該物體的動量變化量。衝量和平均作用力都是向量,也就是具有方位和方向等特性。時間則是一個純量數值。衝量的單位是︰

Baseball Physics - eq 14

或是

Baseball Physics - eq 15

從衝量定理可以看出,衝力這種作用時間很短但強度很高的力和作用時間較長但強度較小的力,都可以造成相同的速率變化。

負功

負功(negative work)在外力與位移的方向反平行時最大。棒球手套把球擋住時,手套施加的力和球的移動方向相反。棒球手套在接住球時(4)會作負功︰

Baseball Physics - eq 16

從以下公式可看出,枾球手套施力停球所作的功,等於球本身動能的變化量︰

Baseball Physics - eq 17

其中‘v’指的是速度。球也會對手套施加一個大小相等、方向相反的力,因此會作一樣大的功,但它是正功。讓我們應用這個定律:假定有一顆質量(m)為140公克的棒球正以每秒32公尺(m/s)的速度 (v) 移動。這顆球被球員接住時讓手套移動了25公分。請計算球施加在棒球手套上的平均作用力。

Baseball Physics - eq 18

Baseball glove stopping the ball

4︰棒球手套作負功來接住球

結論

棒球運動中的物理學涉及非常複雜的概念。球員與球具的所有動作都依循著牛頓等天才所寫下的精準定律。這方面的主題還有很多值得討論之處。現有的教材雖然不可勝數,但結論十分清楚︰在自然界中,無論是人類還是其他動因所引起的任何行為都受到用於描述其特性的數學公式所掌管。

(參考原文:Physics in Baseball,by Giovanni Di Maria)

本文同步刊登於EDN Taiwan 2022年2月號雜誌

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