網球運動的物理學

作者 : Giovanni Di Maria,EEWeb特約作者

網球是一種隨時都會應用到物理和數學概念的運動。地形和擊球的差異會讓比賽變得難易預測,而網球運動員必須徹底地研究這些概念才能取得勝利...

如同針對其他運動一樣,研究並應用網球運動中簡單和複雜的物理現象是很有趣的。例如慣性矩、彈性碰撞和動量等概念,都是在一場比賽中的固定部份。網球運動員所需的技術準備也考慮了物理學,多虧了擊球點/衝擊點(point of impact)、平衡、慣性和質量等物理學概念,多數的訓練技巧都是以此為基礎的。

網球拍

在使用工具來擊球的運動中,網球拍(參見1)通常比網球重六倍,而且只有網球選手手臂重量的六分之一。一個網球重57公克(g),一隻手臂的重量大約有2公斤(Kg)重,一支網球拍的理想重量約為340g。這些數字關係的理由是什麼呢?網球拍的重量會減緩手臂的速度,尤其是當球拍的重量超過這個比例的時候。當球拍擊球時,球的速度也與球拍的重量有關。在相同的速度下,網球被較重的球拍擊出時的球速較快。但是,如果球拍的重量增加太多,球拍擊出的速度會降低且擊球的效果也沒那麼好。這使得一個500g的球拍能夠產生相當於600g球拍的擊球效果。

此外,比起100g的球拍,一支200g的球拍能夠產生2倍的擊球效果,但是100g的球拍沒有辦法達到2倍於200g球拍的移動速度。因此,網球拍的理想重量大約是340g。網球和球拍、球拍和手臂之間的(重量)比例能夠維持在1/6才是最佳狀態。

Ball impact on the racket

1:網球拍被視為手臂的自然延伸。

考慮到網球拍和網球之間的撞擊,當這兩個物件碰撞在一起時,他們會產生一個改變其運動狀態的力量。根據以下的公式,改變一個物體運動狀態所需要的力量,不論是加速或減速的力量,都與它的質量有關:

其中:

  • ‘F’是改變運動狀態的力量;
  • ‘m’是質量;
  • ‘a’是加速度。

對於一個質量更高2倍的物體,你需要2倍的力量來對此物體進行加速或減速。

兩個移動物體之間的碰撞,決定了一定量的動能釋放,這是根據它們的質量和速度(動能等於質量的一半乘以速度的平方)來決定的。由於網球和球拍上的網線都是彈性材料,在撞擊的時候能夠保留一定的動能,並將其轉換成彈性能量,然後在撞擊的時候傳回到這些物體上。一部份累積的潛在彈性位能會無可避免地消耗掉,並且由於摩擦而轉換成震動和熱能;在網球和網線的撞擊案例中,網球大約會損失45%彈性能量。這樣的損失是網球規則中所要求的,可以防止網球跑太快和變得太危險。一般而言,沒有完美的球拍,但是球員最終選擇上場比賽時所使用的球拍型號之前,都會嘗試過好幾種不同的球拍。

網球球員的動作

現在,為了改進自身的表現,網球運動員們也會研究任何動作的差異行為。在訓練員的協助下,球員透過運動學和動態分析,研究作用在身體上的力量及其與運動之間的關係。在網球運動中,最常被研究的姿勢是發球,因為它是透過一連串精準的移動所產生的擊球動作,而不需要依賴對手或比賽過程中其他成員的參與(參見2)。發球是非常重要的一擊,因為它不僅開啟了一場比賽,也提供了立即得分的可能性。然而,它也是一個雙面刃,因為兩次錯誤的發球,球員就會因為雙重失誤而失分。擊球的威力與腿部的推力、身體軀幹的旋轉、肩膀的活動和手臂圍繞著它旋轉有關,同時也必須考慮到球拍的位置及其與旋轉軸的的變動距離。

根據以下的公式:

由此公式可知,與旋轉軸的距離越遠,身體的慣性就越大。

tennis serve

2:網球發球的動作很可能讓你立即得分。

牛頓運動定律主宰網球比賽

物理和數學是所有運動賽事的基礎。在一場網球競賽中,可以不斷地觀察到牛頓(Newton)的三大運動定律:

  • 慣性的原理指出,一個物體(身體)會維持其靜止狀態或是一致的直線動作,直到有外部力量介入或是其狀態發生變化。
  • 力學的第二定律指出,作用在一個物體上的力量決定了其加速度,這個加速度與該力量的強度成正比,而與該物體的質量成反比。
  • 作用力與反作用力的原理指出,如果一個力量作用在一個物體上,就會有相等且反向的力量(反作用力)作用在另一個物體上。

衝擊之後的球速

與球拍上的網線撞擊之後的球速,可由下列公式算出:

其中:

  • vinp是來球的速度;
  • Vr是球拍頭在擊球點上的速度;
  • A則是顯著的回彈係數。

當網線張力(string tension)是280N時,顯著的回覆係數大約是0.4。如果網線張力減少到224N,顯著的回覆係數會增加7%,成為0.433。這麼一來就會增加3%的球速。在實務上,球拍產生230N的網線張力,產生的錯誤較少,而具備180N網線張力的球拍則容易造成更多錯誤。

甜蜜點

「甜蜜點」(sweet spot)是指在擊球時,被網球在網線上所擠壓出的一個點。這是你在線床上所擁有的最佳回彈位置。一支網球拍有兩個甜蜜點,如果網球擊中這兩個區域當中的一個,從球拍框傳到手臂的力量會非常小,而且球員也不會察覺到震動。這些甜蜜點會對網球框上的網線造成一定的震動,大約是100Hz (彈性的網球拍框)和大約185Hz (剛性的網球拍框)。網球在球拍框上的衝擊相當短暫,只有5毫秒(ms)。甜蜜點的位置並不會和網球接收到的最大推力點相同。

一個較具彈性(而不那麼剛硬)的網球拍能夠產生較少的震動,更柔軟且對關節的傷害更小。更進一步來說,網球拍的震動頻率取決於網球拍框的剛性(參見3)。剛性的網球拍振動頻率大約為180Hz或更高的頻率,而彈性的網球拍振動頻率則在140Hz或更低頻率。

還有另外一個臨界點,即「啞點」(dead spot),能量在這個地方不會完整地從網球拍回傳到球上,因為在這個點上,網球拍的實際質量是和球的質量相同。不同的點會在不同的位置上,對每個類型的球拍而言,這些點的位置都是不同的。增加球拍的重量會降低或提高這些點的位置。人們或許會認為一個球拍最佳的擊球點是在球拍的中心,但事實並非如此。

很明顯地,為了防止球拍握把在手中旋轉,撞擊點必須發生在從手把位置延伸的垂直軸上。在網線的正中央,對手臂回彈的力量最小,許多的力量會因為發生在手腕上所產生的震動而消失。最輕微的振動發生在擊球點出現在網線中央的上方;另一方面,當擊球點在網線中央的下方,則會產生最大的力量。

points of impact

3:不同的撞擊點產生不同的振動。

網球拍:手臂的自然延伸

網球的每個動作都涉及了手臂、手和網球拍之間的緊密聯繫。網球拍可以視為是我們手臂的自然延伸;它是一個需要有意識且精準地加以管理的工具,就好像它是人體的一部份。為了展現一個正確的動作,時間、空間和加速度都必須完美地相關。換句話說,必須計算出到達最佳擊球點的正確距離。為此,就必須在手臂和網球的活動中創造足夠的空間,以取得最佳的擊球和完美的擊球時機。在這個時空背景之下,我們嘗試讓球拍在所創造的空間中移動,以提供最佳的加速度,讓最大的能量能夠傳送到球上。擊球時機涵蓋了所有的活動,是一個包含了時間、空間和加速度的正確結合。手臂和球拍的動作要能夠在一個特定的空間中快速地移動,而且能夠跟隨從上到下的橢圓形軌跡。這個動作也會受到重力的影響,網球運動員必須將這個力量與其肢體所產生的力量相結合,以產生最大的能量。網球拍的動作伴隨著加速度,並在達到最大負荷時準備擊球。由於重力的影響,讓網球拍能夠從上到下移動,網球運動員不能突然停止這個動作,否則會讓所有產生的能量歸零。

揮拍重量

揮拍重量(swingweight)是球拍的慣性矩,可被定義為「相對於軸線的旋轉阻力」。旋轉身體的慣性矩是從旋轉軸到正方形的距離中所有質量點的總和(參見4)。我們用一個例子來解釋這個概念。假設我們有兩支網球拍:

  • 第一支球拍重340g,其中心有一個10g的砝碼;
  • 第二支球拍重340g,兩端各有1個5g的砝碼。

因此,這兩支球拍的重量都是350g,都有相同的平衡點,但是第二支球拍感覺更重些。第二支球拍在一開始旋轉時有些困難,但是一旦開始旋轉了,速度會比較快,即使它看起來比較重些。這個原理被稱為「揮拍重量」或「慣性矩」,而且很大程度上影響到一支球拍的操作。揮桿重量的數值越大,球拍似乎就越重且越難被操控,但是它能夠轉移更多的力量和速度到網球上。因為這個原因,球員的四肢必須要有更強健的肌肉組織。它的計算公式如下:

其中:

  • m:增加在網球拍上的質量;
  • d:從球拍框底部到增加重量之處的距離;

這個結果會增加初始的揮拍重量(SW)。如果把重量加到手把上,SW不會增加,只會改變球拍的整體重量和操控性。

swingweight - physics

4:揮拍重量的概念。

 上旋球

「上旋球」(topspin)是網球比賽中最重要的擊球方式之一。這個動作包含手腕快速的轉動和從下往上的擊球。你需要透過球拍讓球產生旋轉的動作,以啟動流體力學中的「馬格納斯效應」(Magnus Effect;如同足球一樣),以便讓網球能夠在流體(空氣)中快速地旋轉。在流體中一個旋轉的物體會立即拖著與它接觸的流體層,之後再拖曳其他流體層,形成許多圍繞著不同同心圓旋轉的流體層。根據旋轉速度的不同,球的平移效果也有所不同。

球場的類型

比賽的場地可能有不同的表面型態。草地、黏土和混凝土各自產生不同的比賽結果。在物理層面上,球的行為是不同的,根據回彈理論所提供的第一特徵指出,一個球體的物理系統是受到由球拍撞擊(vx1)所產生的水平速度和由於重力影響所產生的垂直速度(vy1)所決定的,如5所示。在球體表面受到撞擊之後,針對一個確定的入射角,這兩個速度會降低(vx2和vy2),網球則短暫變形並升溫,同時也會根據所回彈的表面不同而損失部份的能量。

bounce of the ball on the ground - physics

5:網球在地面上的彈跳。

在網球落下的幾分之一秒內,也會開始在球場上滑動,覆蓋一小段距離(D),而該距離的長短取決於球場表面的摩擦力。在此轉換階段,球會恢復旋轉運動,然後上升以準備下一個反彈動作。當然,不論是不是上旋球,這個反彈都是不同的。6顯示在一個黏土球場(紅色圖)和草地球場(綠色圖)的擊球模擬。第一張圖顯示沒有上旋球的擊球,第二張圖則顯示採取上弦球的擊球動作。在沒有上旋球的擊球時,以130km/hr的速度拋球,到達底線的速度會比原來的速度少14%。如果是每分鐘400轉(400RPM)的上旋球,則網球到達底線(和之後的回彈)都是相同的速度和相同的時間。這其中唯一的差別在於50公分的高度差,較有利於黏土球場。

different types of bounce on clay and grass

6:網球在黏土球場和草地球場上的不同反彈型態。

在強力的旋轉球狀況下,當網球與球場表面撞擊的瞬間,球頂端的切線速度會比整個水平速度來的大。在撞擊期間,較上方的切線速度會降低到和水平速度一樣,然後球會開始旋轉,在受到表面摩擦力的效應之後,再次啟動(向上彈)。地形可能使得平擊球比旋轉球慢得多。

結論

網球是一種隨時都會應用到物理和數學概念的運動。地形和擊球的差異會讓比賽變得難易預測,而網球運動員必須徹底地研究這些概念才能取得勝利。堅硬的場地會減慢平擊球的速度,但提高旋轉擊球的速度。整個比賽幾乎變成是運動員之間的個人事務。大氣條件也會影響擊球:濕度、溫度和氣壓都是必須考慮的因素。但有一件事是可以確定的:以最大速度丟出去的網球具有極大的動能,足以對人們造成致命傷害。

(參考原文:Physics in Tennis,by Giovanni Di Maria)

本文同步刊登於EDN Taiwan 2021年10月號雜誌

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