工程計算機的小數點大學問

作者 : Bill Schweber,資深技術編輯

您是否曾經為了一個準確的答案想到「焦頭爛額」,但其實那個答案本身也存在大量的錯誤?您是否接受精度而忽略了準確度,或者您憑著自己的工程「直覺」而展開進一步調查?你有沒有見過其他人由於遵循精確的數字而試圖說服暫停工作,並進而重新評估結果?

我有一段時間沒使用工程計算機(scientific calculator)了,但最近不得不用它來進行一些與類比相關的計算。當然,我也可以用PC或智慧型手機上一些合適的應用程式(app),但總覺得手指按在計算機才有那種實質的觸感,至少對我來說是這樣。

我執行這項任務時所使用的特殊計算機是德州儀器(TI)開發的TI-30XA,它大約是在2004年時購買的。這款TI-30XA是在義大利製造的,我用它來替換掉另一台約1993年左右開發的TI-30X。舊款的TI-30X與新機型極其類似,但它因為在鍵盤軟性互連板內導體中出現多處髮絲般的裂縫而「壽終正寢」了。不過,看著好幾代產品演進卻幾乎沒什麼變化,其實也挺有趣的。

從網路上就可以找到許多專門介紹計算機的愛好者以及博物館網站;例如,Datamath網站專門介紹TI的計算機,特別是其針對大眾市場開發的工程計算機(例如我的TI-30X/TI-30XA)。相較於更早期的傳奇惠普(Hewlett-Packard;HP)計算機HP-35 (1972)和TI SR-50 (1974)專門針對科學家、工程師和工程專業學生,TI “30”系列主要針對高中生以及非技術相關科系的大學生。

當我使用我的TI-30XA進行計算時,我發現它與其前一代產品有一個很大的不同點:新機型的小數點非常小,小到幾乎看不見(圖1)。起初,我覺得很懊惱也很困惑,因為新的計算機明明有著更大也更清楚的數字(好處),但小數點竟然幾乎看不見(這我覺得不行)。

圖1:較舊款的TI-30X和較新一代的TI-30XA儘管其出廠年份不同,但外觀非常相似。不過,新款計算機有著較大的數字也更清楚易讀,但幾乎看不到小數點——再仔細看看兩張圖片上的顯示螢幕,小數點同樣都位於最左側的“2”和“8”之間。(圖片來源:www.datamath.org)

然而,我很快地就意識到必須弄清楚小數點所在位置應該是件好事,至少在某種程度上是這樣。為什麼?因為它迫使我去思考顯示器上的答案是否真的有意義。有幾次它讓我發現了其實沒什麼意義,因為我輸入了錯誤的數字或誤用了某個公式。畢竟,我很確定不應該將1,500Ω的電流檢測電阻用於1A電流,即使顯示器上的數字如此呈現了;嗯……也許它真的應該是0.0015Ω?

而現實是,在類比世界中,要達到0.1%的準確度(accuracy)和精度(precision)是一大挑戰,而要達到0.01%則是更大的挑戰。當然,我知道準確度和精度是不一樣的。0.1和0.01的百分比分別大致相當於三位數和四位數;而在計算機上顯示任何額外數字(與內部用於最小化四捨五入/截尾取整的額外數字不同)都是不必要的,同時也意味著並不存在精度。

估算答案以及進行所謂的「完整性檢查」(sanity check),二者都算是工程傳統和技能。回到真正的“BC”舊時代(在工程領域,“BC”是指「在計算機之前」和「在電腦之前」的時代),對於工程師來說,無處不在的計算工具就是計算尺(slide rule;2)。這種類比運算裝置——有數百個網站專門介紹它的歷史、用途和收藏——支援乘法、除法、對數、指數、三角函數以及其他特殊功能,但就是不包括加法或減法功能。

圖2:這種高階的計算尺——上圖是正面,下圖是背面——需要大量的練習才能正確使用,而且它提供了兩個甚至三個有效數字的結果。您需要自行設定小數點的位置,但在現代電子計算機器開發出來,以及計算尺過時被淘汰以前,它協助科學家和工程師完成了許多任務。(圖片來源:International Slide Rule Museum

為了學習使用計算尺並熟練如何使用,需要學習的不僅僅是基本的「力學」(這其實已經相當不容易了),還必須瞭解方程式和演算法、估算答案,並且搞清楚小數點應該放在哪裡,因為計算尺上並不會為您提供這些資訊。這些因素相當不利於簡單的「廢料進,廢品出」(濫入濫出;GIGO)的計算方式。

有些人用起來得心應手,有的人則不擅長這方面的技巧,但無論如何,它的確迫使每個人思考並先問「什麼才是合理的答案」,以及使用計算尺進行計算。你可能會對於其相對缺乏精確度和明顯的粗糙度而深感驚訝,但想想多少橋樑的建造、船舶和飛機的設計,以及火箭發射等等精密任務,都少不了利用它作為工具。這也是對於那些工程師和設計師的技能和直覺之實際認證。

在此真正要傳達的訊息是,在使用任何技術(無論是計算尺、計算機還是電腦)進行計算時,即使是嚴謹的工程實務也有賴於於估算答案應該是什麼。如果存在較大的差異(取決於具體設計,可能相差一、兩倍或甚至是一個數量級),最好先暫緩任務以便找出原因。它很可能是資料輸入錯誤、應用公式錯誤,或甚至可能是您所做的一些基本假設錯誤。

您是否曾經為了一個準確的答案想到「焦頭爛額」,但其實那個答案本身也存在大量的錯誤?您是否接受精度而忽略了準確度,或者您憑著自己的工程「直覺」而展開進一步調查?你有沒有見過其他人由於遵循精確的數字而試圖說服暫停工作,並進而重新評估結果?

編譯:Susan Hong

(參考原文:Why I’m fine with my calculator’s tiny decimal point,by Bill Schweber)

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