「史密斯圖」背後的數學

作者 : John Dunn,EDN專欄作家

「史密斯圖」(Smith chart)是一種簡化複雜數學運算的圖形方法,由史密斯(Phillip H. Smith)於1939年發明。他認為以圖表方式來表達數學上的關聯更有趣...

「史密斯圖」(Smith chart)是一種用於傳輸線阻抗匹配的圖表,由史密斯(Phillip H. Smith;1905-1987)於1939年發明。根據維基百科,「一條傳輸線的阻抗會隨其物理長度而改變,要設計一套阻抗匹配的電路,需要通過不少繁複的計算程序,史密斯圖的特點在於省去一些計算程序。

各種類型的參數都可以採用實數+ j *虛數形式的複數加以描述。實數和虛數的數值可以在很寬廣的範圍內變化。試圖直接為其繪製圖形可能很困難,或者根本不切實際,但是我們在有關傳輸線速度因子時確實做到了。

這個問題有助於使其發明者——史密斯和T. Mizuhashi (b. 1937)在其工作上表現更出色。當時他們在美國無線電公司(Radio Corporation of America;RCA)工作,史密斯認為,在能夠使用計算尺的時候,以圖表方式來表達數學上的關聯更有趣。

史密斯圖是一種簡化複雜數學運算的圖形方法。它衍生了一個稱為‘gamma’的新參數,並將該新‘gamma’的實數和虛數部份繪製在x-y座標上,以取代直接在x-y座標上繪製實數和虛數的作法。至於為什麼稱為‘gamma’?用莎士比亞(William Shakespeare)的話來形容似乎很恰當:「玫瑰不論以什麼為名,都會一樣芬芳。」(A rose by any other name would smell as sweet.)

控制方程式如下。代數並不難,因此請仔細參考。

圖1:史密斯圖的代數方程式。

我們以圖形方式繪製了‘gamma’的實部和虛部。如果保持R的恆定值並允許X發生變化,則會得到一組曲線,這些曲線看起來像在最右邊彼此相切的圓。如果保持X值恆定並允許R可變,那麼將在水平軸上方和下方獲得第二組曲線,這些曲線似乎是從剛剛談到的切線點發出的。

改變R或改變X會導致‘gamma’參數的實部和虛部都發生變化,如下所示。

圖2:這兩個附加註解的史密斯圖顯示了改變R或X的結果。

此處顯示最外層的圓R = 0並不是絕對限制。我們也可以將此圖擴展為R的負值,但隨後最外層的圓直徑可能會變得很大。

用於表徵元件

此外,史密斯圖還可用於元件的表徵。

根據上述介紹,一位讀者Dan Bullard評論說自己曾在一次面試時遇到這樣的問題:「請大概介紹在史密斯圖上的石英晶體。」這問題可把大多數應試者給考倒了。

這個問題確實值得一探究竟。石英晶體的等效電路如下:

圖3:石英晶體的等效電路。

針對該等效電路繪製的史密斯圖結果如下。

圖4:根據圖3電路繪製的史密斯圖。

圖4左側的史密斯圖是根據先前給出的方程式僅在實/虛係數的有限範圍繪製的。圖4右側的史密斯圖則包括順時針方向的紅色,其頻率透過串聯諧振向上掃描;該晶體的史密斯圖軌跡之ESR = 6Ω,L = 10 mHy,並選擇C1用於10 MHz時進行串聯諧振,C2 = 30 pF。

我並不確定這些L1、C1和C2值是否符合實際情況,但降低L1至僅1-mHy所產生的史密斯圖,從所顯示的軌跡無法僅憑視覺分辨其結果。

編譯:Susan Hong

(參考原文:The math behind the Smith chartA Smith chart for component characterization,by John Dunn)

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