高斯概率分佈的數學公式討論

作者: John Dunn,EDN專欄作者

本文作者從他所知的高斯概率分佈數學公式做出精彩的分析,最後導引到作為數學新手所經歷的問題…許多人都是被教導如何使用數學大師們的努力成果,但是高斯如何得到他理論的結果?甚至其他大師們又是如何推論出偉大的定理?

這個類比世界中的各種物理過程都表現出一定程度的隨機性,例如,請想想雜訊。高斯概率分佈(Gaussian probability distributions)描述了許多雜訊過程,我們應該看看它的數學公式。

從一個非常簡單的公式開始,考慮高斯概率分佈的「鐘形曲線(bell curve)」公式:

無需繪製圖片,我們知道公式1所描述的曲線在x值為零時具有y值,並且我們進一步知道隨著x值朝向任一值,y值都變為零,負無窮大或正無窮大。

接下來,依照上面的公式添加「零」和數字「 1」,這實際上並沒有改變任何內容,但是會引導我們進行下一步。下面的公式3引入了平均值和標準偏差。

本文的「平均值」是一個新的中心值,圍繞它的x值更改將影響y值。現在,當x值等於平均值時,y值將變為1,其中平均值可以為零,也可以為任何非零值。「標準偏差(standard deviation)」將影響隨著x值偏離均值,y值向零下降的速度有多快。

標準偏差的較大值將要求x值與平均值相差很大,從而明顯降低y值。 另一方面,當標準偏差較小時,x值與均值的微小偏差將使y值更快地變為零。

現在,繪製幾張圖片,以圖形方式查看均值和標準差如何完成各自的工作(圖1)。

圖1 顯示平均值和標準偏差的影響。

接下來,透過標準差的倒數來縮放y值。請不要擔心為何我們要這樣做,請繼續往下看。

如果再仔細看一下圖片,會看到標準偏差的附加影響(圖2)。

圖2 顯示標準偏差的附加影響。

接下來,輸入另一個比例因子,即2 *π的平方根的倒數。再度呼籲,不用擔心為什麼,只要繼續看下去。

現在,導入一個稱為「方差(variance)」的新術語。方差只是標準偏差的平方。可以將公式重寫為:

至此,我們已經完成了。如圖2所示,如果針對從負無窮大到正無窮大的x值範圍內的y值整合這最後兩個公式中的任何一個並進行積分,則曲線下的面積等於1或等於1。使用我們進行的看似任意縮放,最後兩個公式中的任何一個將產生一個積分結果。

無論你選擇的是平均值、標準差還是方差,積分總是為1,這就是高斯概率分佈,可以隨意選擇。

現在,我想談談作為數學新手所經歷的一個問題。我試著理解卡爾·弗里德里希·高斯(Carl Friedrich Gauss)等如此偉大大師的作品。然而高斯工作時,純粹是行動上的智慧。

他推斷出上述公式中需要2 *π的平方根,但是高斯如何得出他的結果?我從未見過任何關於這方面的解釋,也從未見過關於羅必達(l’Hospital)如何得出他尋找極限規則的任何解釋,也沒有見過關於帕普斯(Pappus)理論中尋找環形物體積或其他定理的任何解釋。我只是被教導了這些天才努力的最終結果,以及如何應用其結果,僅此而已。

不知何故,由於缺乏更深層的解釋,因此我覺得被哄騙。

(參考原文:The mathematics of Gaussian probability distribution,by John Dunn,EDN Taiwan Anthea Chuang編譯)

 

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