線性並不意味著無失真

作者: Bob Witte,Signal Blue LLC總裁

在考慮訊號和系統時,通常會著重於產生和傳輸具有特定特徵的訊號。也就是說,我們希望訊號具有一定的幅度、頻率含量或者波形,而且不希望電子設備擾亂波形。換句話說,要保持訊號不失真。

在某些情況下,我們希望訊號具有指定的幅度。例如,數位訊號必須低於或高於特定電壓水準,才能被視為有效的低邏輯值或高邏輯值。在其他情況下,可以預料或容忍幅度變化,但是確實希望保持波形的形狀。例如,訊號在透過通訊通道傳播後通常會受到衰減,當訊號通過系統中的各個點時,時間延遲通常也可以接受。

筆者在網上瀏覽電氣工程中失真(Distortion)是否有好的定義,然後發現了以下這個:

失真:訊號在通過元件或系統後發生不期望的波形變化。

這個文獻還提供了更詳盡的定義:

因為元件特性不是線性的,或者因為電路元件和零件在各種頻率下對輸入訊號的回應不同,所以會發生失真。發生失真時,輸出將不會與輸入訊號完全相同(幅度除外)。

仔細觀察第二個定義可以發現,失真可能是由兩種機制引起的:非線性和頻率回應。

無失真

除了幅度縮放和時間延遲,如果系統或網路(圖1)的輸出是其輸入的精確複製,則該系統或網路被稱為無失真。從數學上講:

y(t)=kx(t-t0)

其中:

y(t)=輸出訊號;

x(t)=輸入訊號;

k=幅度比例因數;

t0=系統中的時間延遲。

請注意,k和t0是常數,而不是頻率的函數。換句話說,對於所有感興趣的頻率,k必須為常數。這可能意味著系統必須具有無限頻寬,但是工程師通常會接受更實際的頻寬要求,即有「足夠的頻寬來支援感興趣的頻率」。

EDNT20200304_Lineardistortion_TA31P1

圖1:顯示系統輸入與輸出訊號的簡單框架圖。

圖2顯示了系統的輸出(y)與輸入(x)之間的關係。系統若具有恆定的k因數,則具有直線或線性特性。不是直線的圖稱為非線性圖,系統會引發失真,也就是說,k不是常數。非線性函數會影響波形的形狀並產生失真,在時域中,失真表現為波形形狀的變化;在頻域中,波形的頻率成分會發生變化,通常會引起諧波失真或互調失真。

線性並不意味著無失真

從圖2貌似可以看出,線性函數不會產生失真,而非線性函數會產生失真。因此很容易讓人得出結論,線性電路永遠是無失真的系統,但這是不正確的。線性電路若是會引發頻率響應變化(幅度或相位),則會使訊號失真。

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圖2:輸入和輸出的線性(藍色)和非線性(黑色)關係會引起回應差異。

來看一個簡單的線性電路——圖3所示的RC低通電路(這裡認為R和C是理想的)。

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圖3:低通RC電路是簡單的線性網路。

該RC電路的階躍響應是一個上升的指數函數,其時間常數等於RC(圖4)。在頻域中,該電路是一個低通濾波器,其-3dB頻率為1/(2πRC)。

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圖4:RC電路的階躍回應隨時間常數RC呈指數上升。

假設RC電路的輸入為方波(圖5),輸出波形將在方波的每個邊緣表現出相同的指數回應。輸出波形是輸入的失真形式,因此可能會得出結論,RC電路對波形引入了失真。真實情況是電路去除了方波的高頻成分,從而使波形的尖銳邊緣變慢。

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圖5:RC電路會限制方波的頻率成分,產生圓滑的邊緣,而使輸入失真。

但是,波形失真的程度取決於電路的RC時間常數,而這又與方波的週期有關。如果RC時間常數夠快(也就對應高截止頻率),那麼我們可能會認為輸出波形與輸入夠接近,那就可以認為系統無失真。這種判斷取決於具體應用,要看對於這個具體用例,波形的良好程度是否滿足要求。

有時,這種類型的失真稱為線性失真,表示電路是以線性方式工作,但是仍然會使訊號失真。僅線性度這一個指標,不足以避免失真,系統還必須使波形的頻率成分通過,以便使波形形狀得到保持(相位回應也很重要,後續將會介紹)。

事實證明,方波是寬頻系統的常見測試訊號,因為它含有豐富的諧波。能夠使適當頻率的方波通過,是驗證系統性能(包括失真和頻寬)的快速方法。這等效於將多種正弦波同時輸入到系統中,然後查看輸出所顯示的內容。

故意失真

失真並非總是壞事。有許多應用都是故意引起失真而實現某種目的。一個很好的例子是,電吉他中使用了各種失真盒子和其他效果器。射頻設計也利用了非線性元件來產生諧波並將頻率混合;高速數位鏈路中則通常會添加預失真來補償傳輸線的特性。

(參考原文: Linear does not mean no distortion,by Bob Witte)

本文同步刊登於電子技術設計雜誌 2020年3月號

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