若一個運放不能完美工作,會導致嚴重的增益和相位失真。開環增益和所選運放的低、高頻兩個極點將影響整體動態回應,選擇合適的元件,避免對交越所需的增益和相位性能產生影響。本文主要介紹開環增益的影響,而不談低頻和高頻兩極點。

不同類別的補償器

補償器的作用是形成一個給定電路的頻率響應,一旦閉環,控制系統能表現出所需的交越頻率fc和適當的相位/增益裕度。補償器透過在fc的一些中期波段的增益或衰減強行形成0dB交越點。相位裕度φm由補償器在fc表現出的相位提升(phase boost)量調節。增益裕度取決於交越後補償器調降增益的能力。

補償器有不同的類型,其在開關轉換器中通常稱為Type 1、Type 2和Type 3。所有三個型號在原點都有一個極點以提供最大可用準靜態增益(S=0),從而提供一個精確的輸出變數。Type 1補償器是簡單的積分電路,完全不提供相位提升;Type 2基於Type 1,增加了一個極/零對,最多有90°的相位提升,常見於電流模式電源,可提供大量補償;Type 3電路提供另一個極/零對,可提升相位達180°(圖1)。

20170417TA01P1 圖1 所選擇的補償器與想要的相位提升量有關。

快速分析技術

快速分析技術(Fast Analytical Techniques,FACT)的基本原理是在激勵訊號(actuating signals)消失(Vout降至0V)時和回應清零(VFB=0)兩個不同條件下確定電路時間常數。

一個具有非零準靜態增益的第一階系統的傳遞函數可表示為:

20170417TA01P1-1 公式(1)

首項G0是S=0時系統表現出的增益。分子N(s)控制傳遞函數的零點。在數學上,零點是個特定的點sz,無訊號回應。從理論上講,考慮到激勵訊號覆蓋整個s面(諧波模式下不只在垂直軸),當輸入訊號調到零角頻率sz,零點表現為無訊號的輸出回應。儘管存在激勵源,電路中一些特定阻抗組合阻擋了訊號傳播,回應為0V。零點是分子的根。

分母D(s)由電路自然時間常數構成。將激勵訊號設置為0並確定這種配置中電容或電感的阻抗,可以得出時間常數τ=RC或τ=L/R。設想把歐姆表置於暫時移除的電容或電感器,並讀取它顯示的電阻。在圖2的被動電路中,一個注入源(激勵源)正加偏壓於左邊網路。輸入訊號透過網格和節點傳輸,形成電阻R3上的回應。

20170417TA01P2 圖2 確定電路的時間常數需要將激勵源設為0,並考慮從電路中暫時移除的能量記憶元件 所提供的電阻。

將激勵源設為0(由短路代替0V電壓源,開路代替0A電流源),拆下電容器。連接一個歐姆表,以確定電容器端提供的電阻(圖3)。

20170417TA01P3 圖3 由短路代替0V源後確定電容器端的電阻。

R1與R2並聯後與R4串聯,所有這些與R3並聯後與rC串聯。該電路的時間常數透過R和C1即可計算得出:

20170417TA01P3-1 公式(2)

可以證明,第一階系統的極點是其時間常數的倒數。因此:

20170417TA01P3-2 公式(3)

s=0時這個電路的準靜態增益是多少?在直流條件下,電感器短路;電容器開路。將此概念應用於圖2的電路,繪製成圖4所示的電路。在R4前面斷開連接,會看到一個含R1和R2的電阻分壓器。R2上的大衛寧(Thévenin)電壓為:

20170417TA01P4-1 公式(4)

20170417TA01P4 圖4 斷開直流電路中的電容器,計算此電阻配置的傳遞函數。

輸出電阻Rth是R1與R2並聯的值。完整的傳遞函數涉及到電阻分壓器(由與Rth串聯的R4和載入的R3構成)。rC是斷開的,電容C1在些直流分析中被移除,因此:

20170417TA01P4-2 公式(5)

如何知道是否有零點?一個有用的方法是在圖2所示的電路中,使電容C1短路。假定為具有短路電容的電路提供激勵訊號,那麼在示波器上能夠觀察到Vout的響應嗎?當然可以。rC使R3短路了,儘管振幅可能較低,但輸入訊號仍然會傳輸並有響應。儘管C1短路但仍有回應,這意味著有與C1有關的零點。處理含電感L1的電路亦然(但採用電感開路)。

零點透過阻斷激勵訊號的傳輸在電路中表現出來,輸出響應為0。現在考慮一個變形電路,其中C1由1/sC1代替,如圖5所示。當激勵源加偏壓於電路,在什麼樣的特定條件下會出現無訊號回應?無訊號回應僅表明流過R3的電流為0。若電阻沒有電流,終端上沒有電壓而且Vout為0V,就不是短路而是虛擬接地。

20170417TA01P5 圖5 當串聯的rC和C1變為短路時,回應消失。

若R3沒有電流,那麼串聯的rC和1/sC1變為短路:

20170417TA01P5-1 公式(6)

根sz是我們想要的零點位置:

20170417TA01P5-2 公式(7)

從而有:

20170417TA01P5-3 公式(8)

組合所有這些結果,形成以圖2電路為特徵的最終的傳遞函數:

20170417TA01P5-4 公式(9)

這就是低熵運算式,可立即識別增益、極點和零點。考慮阻抗分壓器時通過施加大外力到原來的電路可得到高熵運算式,如:

20170417TA01P5-5 公式(10)

請注意運算式(9)中沒有一行代數,這便於發現錯誤時單獨修復。(9)的校正很容易,現嘗試對運算式(10)進行相同的修正,無需從頭開始。對比一下可以看出,採用Mathcad表繪製的運算式(9)和(10)的頻率回應相同(圖6)。

20170417TA01P6 圖6 快速Mathcad顯示FACT推導出的運算式是否與原運算式返回的回應匹配。

FACT應用於Type 2補償器

為高效地將FACT運用到Type 2補償器,先考慮儲能元件C1和C2。它們的獨立狀態是可變的,例如它們並非串聯或並聯,所以這是一個二階系統,考慮非零準靜態增益,該系統可表示為:

20170417TA01P6-1 公式(11)

對於二階系統,分母遵循下列公式:

20170417TA01P6-2 公式(12)

係數s是用於零點激勵的時間常數之和。S2係數稍複雜,因為引入了新符號τ12。此符號表示C1由短路電路取代後,C2兩端的阻抗。

如圖7所示,Vref是一個完美的源,其動態響應為0(忽略所加的調製,其電壓是固定的)。因此,它在小訊號電路中不見了,而在交流分析中為短路的形式。

20170417TA01P7 圖7 在直流條件下斷開所有的電容,運放運行於開環配置。

運放提供的電壓相當於開環增益AOL的ε倍。反相接腳的電壓與低邊阻抗Rlower有關,這時ε是個非零的值:

20170417TA01P7-1 公式(13)

此電路有兩個電容,因此有兩個單獨的時間常數。為確定與C2有關的第一個時間常數,將激勵訊號設為0,確定連接端子的C2的阻抗,將C1從電路中移除。

為確定C2端子的阻抗,可連接一個測試生成器IT,然而確定其兩端的電壓VT。然後VT/IT會提供我們想要的阻抗。可寫的第一個簡單的運算式與ε有關。運放的輸入接腳之間的電壓是:

20170417TA01P7-2 公式(14)

運放的輸出為:

20170417TA01P7-3 公式(15)

將運算式(14)代入(15)得出:

20170417TA01P7-4 公式(16)

VT是電流源的電壓:

20170417TA01P7-5 公式(17)

若從運算式(17)提取VFB,結合(16)的結果,我們有:

20170417TA01P7-6 公式(18)

阻抗是:

20170417TA01P7-7 公式(19)

因此第一個時間常數τ2表示為:

20170417TA01P7-8 公式(20)

第二個時間常數與C1有關(圖8)。我們未安裝電流發生器,因為結果很明顯:C1兩端的電阻就是已確定的C2與R2串聯後的電阻:

20170417TA01P8-1 公式(21)

20170417TA01P8 圖8 立即確定第二個時間常數,因為它是C2與R2串聯的驅動電阻。

我們有兩個時間常數,可進行第二階項。我們需要評估τ12,其中C2由短路代替,我們看C1端的電阻。既然我們在涉及R2的回路中有法蘭克(Frank)短路,那麼電阻R就是R2

20170417TA01P8-2 公式(22)

因此,若我們根據運算式(12)組合時間常數,得出分母D(s):

20170417TA01P8-3 公式(23)

這二階形式可重新排列,假設品質因數Q遠小於1。此時兩個極點完全分離:一個控制低頻,而第二個位於頻譜的上部。由運算式(12)我們可證明,兩個極點定義為:

20170417TA01P8-4 公式(24)

20170417TA01P8-5 公式(25)

若我們將這些定義應用到運算式(23),簡化和重新排列,得到:

20170417TA01P8-6 公式(26)

20170417TA01P8-7 公式(27)

若我們想像使C1或C2或C1和C2短路,這三個配置有回應嗎?若C1短路,我們有一個含R2和其他電阻的簡單的逆變器:有個與C1有關的零點。若C2短路,則運放為0:C2沒有零點。若兩個電容器都短路,當然,沒有回應。若C1和R2短路,那麼回應消失(圖9):

20170417TA01P9-1 公式(28)

然後

20170417TA01P9-2 公式(29)

其中給出了零點位於:

20170417TA01P9-3 公式(30)

現在有最終的傳遞函數

20170417TA01P9-4 公式(31)

20170417TA01P9-5 公式(32)

20170417TA01P9-6 公式(33)

20170417TA01P9-7 公式(34)

20170417TA01P9-8 公式(35)

20170417TA01P9 圖9 若R2與C1的串連轉換為短路,那是沒訊號的回應:這就解釋了零點是如何產生的。

比較電路之間的響應

現在比較由Type 2電路(其中我們考慮開環增益)帶來的動態響應是有意義的,Type 2完美的傳遞函數為:

20170417TA01P9-9 公式(36)

其中

20170417TA01P9-10 公式(37)

20170417TA01P9-11 公式(38)*

20170417TA01P9-12 公式(39)

舉例說明,我們對比理想的運放和開環增益為50dB的運放(例如TL431),此時補償器必須滿足以下目標:fc=10kHz和在此頻率的增益補償20dB,相位提升必須是65°。R1和Rlower計算用於12V輸出和2.5V參考電壓。運算式(31)和(36)的兩個動態回應如圖10。

20170417TA01P10 圖10 在Type 2的波特圖中,開環增益AOL和低邊電阻Rlower並沒有太大影響原本完美的方程式。

交越增益和相位升壓的偏差可忽略不計,然而,在120Hz頻率時運算式(31)的增益為35dB;(36)則為45dB。最後,有限的AOL的准靜態增益僅36.4dB(66),而無限時則為完美的運放。增益少兩倍時,電源頻率將影響控制系統的能力,抑制整流波紋。輸出變數可能會受到此元件的影響,特別是在電壓模式控制下。此外,若植入增益低,控制變數可能有顯著的靜態誤差。若現在選擇具有更高AOL的運放如80dB,偏差消失,兩曲線相互非常接近。

總結

本文介紹一個補償器採用一個非理想運放時開環增益的影響。假如運放不是完美的,可看到動態響應中在低頻範圍內弱開環增益的影響,來評估這種情況導致的性能下降。